1、第四章,例题及习题,例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,第一节,例2. 求,解: 原式 =,例3. 求,解: 原式=,例4. 求,解: 原式 =,例5. 求,解: 原式 =,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,思考与练习,1. 证明,2. 若,提示:,提示:,3. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,4. 求下列积分:,提示:,5. 求不定积分,解：,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,
2、注: 当,时,第二节,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接凑微分),例4. 求,解:,类似,例5. 求,解:, 原式 =,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例10. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,例11. 求,解: 原式 =,例12 . 求,解:,例13. 求,解:,原式 =,例14. 求,解: 原式=,分析:,例15. 求,解: 原式,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ;
3、 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,例16. 求,解: 令,则, 原式,(切记变量还原),例17. 求,解: 令,则, 原式,例18. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,原式,例19. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,（倒代换）,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2. 常用基本积分公式的补充 (P205),(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,解: 原式,(P2
4、05公式 (20) ),例20. 求,例21. 求,解:,(P205公式 (23) ),例22. 求,解: 原式 =,(P205 公式 (22) ),例23. 求,解: 原式,(P205 公式 (22) ),例24. 求,解: 令,得,原式,例25. 求,解: 原式,令,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,2. 求下列积分:,3.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,分子分母同除以,4.,求不定积分,解:,令,原式,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,第三节,例2. 求,解: 令,则,原式 =,思考: 如何求,例
5、3. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按“ 反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例5. 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例6. 求,解: 令, 则,原式 =,例7. 求,解: 令,则,原式,令,例8. 求,解:原式=, 原式 =,例9. 求,解(法一): 令, 原式 =,例9. 求,解(法二):令,则, 原式 =,例10. 求,解: 令,则,
6、得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,例11. 证明递推公式,证:,注:,或,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,解出积分后加 C ),3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递推公式 .,例12. 求,解:,令,则,可用表格法求 多次分部积分,u,v,求导,积分,例13. 求,解: 令,则,原式,原式 =,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,第四节,(2) 用待定系数法,故,对比分子系数，,解得,原式 =,（3）
7、,例2. 求,解: 已知,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,变形方法同例3,并利用上一节例9 .,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例4. 求,解: 原式,例5. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,例6. 求,解: 令,则,例7. 求,解: 令,则,原式,例8. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例9. 求,解: 令,则,原式,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换
8、,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,四种典型部分分式的积分:,分子变为,再分项积分,习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,重点：不定积分的概念及性质、不定积分的基本公式以及不定积分的换元积分法和分部积分法。 难点：不定积分的计算。,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易
9、求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,分析:,例3. 求,解 :,原式,分部积分,例4. 设,解:,令,求积分,即,而,例5. 求,解:,例6. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,例7. 设,证:,证明递推公式:,例8.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如 ,例9. 求,解: 令,则,原式,例10.,求不定积分,解:,原式,例11. 求,解:,( n 为自然数),令,则,
