1、,第八章 多元函数微分学,第八章,上页 下页 返回 结束,习题课,基本概念,基本计算,基本应用,平面点集 和区域,多元函数 的极限,多元函数 连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数 的性质,多元函数概念,一、基本概念,上页 下页 返回 结束,全微分 的应用,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,微分法在 几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分 概念,偏导数 概念,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,例1. 讨论二重极限,解一,解二 令,解三 令,时, 下列算法是否正确?,分析:,解一,解二 令,上页 下页 返回 结束,此法第一步排除了沿坐
2、标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1 .,第二,步未考虑分母变化的所有情况,解三 令,上页 下页 返回 结束,此法忽略了 的任意性,极限不存在 !,由以上分析可见, 三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .,特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在 .,提示: 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,例2. 证明,上页 下页 返回 结束,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,上页 下页
3、返回 结束,例3. 已知,求出 的表达式.,解一 令,即,解二,以下与解一 相同.,则,且,上页 下页 返回 结束,显式结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,3. 利用一阶微分形式不变性,上页 下页 返回 结束,二、基本计算,重点是多元复合函数偏导数的计算,例4.,解,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,例5.,解,为求,由此可得,上页 下页 返回 结束,例6. 设,其中 f 与F分别具,解一 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,99 考研,上页 下页 返
4、回 结束,解二,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,上页 下页 返回 结束,例7. 设,有二阶连续偏导数, 且,求,解,上页 下页 返回 结束,例8.,设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二,上页 下页 返回 结束,阶偏导数,解答提示:,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,2001考研,上页 下页 返回 结束,例9. 设,三、基本应用,1.在几何中的应用,求曲线的切线与法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面与法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法
5、 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,上页 下页 返回 结束,例10.在第一卦限作椭球面,的切平,面, 使其在三坐标轴上的截距平方和最小, 并求切点.,解 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点 .,上页 下页 返回 结束,唯一驻点,例11.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义，最小值存在 ,故,上页 下页 返回 结束,上求一点 , 使该点处的法线垂,例12. 在曲面,并写出该法线方程 .,提示 设所求点为,则法线方程为,利用,得,垂直于平面,法线垂直于平面,点在曲面上,上页 下页 返回 结束,例13. 在第一卦限内作椭球面,的切,平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示 设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,作拉格朗日函数,上页 下页 返回 结束,作 业,P73 5，6，10， 15，17,上页 下页 返回 结束,
