1、第四章 矩 阵,矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列的形式,从而使许多问题可以用矩阵来表示,而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算,从而使矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具.,4.1 矩阵的概念,例1 考虑线性方程组,此方程组由未知量的系数和常数项决定,隐去未知量和运算符号,得到矩形表如下:,通过对此矩形表的讨论,可得到方程组解的情况.,(有没有解?有多少解?怎样求解?),一、矩阵的定义,例 某企业生产3种产品,各产品的季度产量(单位:吨)如下表:,这个产量表可用阵列,表示,此阵列描述了这家企业三种 产品各季度的生产情况,例 某农场种植两种农作物,在不同的气候条件下收益 (
2、单位:百元亩)如下表:,这个收益表可用阵列,表示,定义 由mn个数aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的一个m行n列的矩形表,称为一个mn矩阵,记作,其中aij称为矩阵的第 i 行第j列元素.,或,一般情况下,用大写字母A,B,C,表示矩阵.,当矩阵的元素全是某数域P中的数时, 就称之为数域P上的矩阵.,例如,是一个25矩阵,是一个32 矩阵,是一个16 矩阵,是一个21 矩阵,是一个11 矩阵,是一个33 矩阵,所有元素均为 0 的矩阵,称为零矩阵,记作O.,把矩阵,中各元素变号得到的矩阵,称为A的负矩阵,记作A.,如果矩阵A 的行数与列数相等,均为n,则称A为n 阶方阵,或 n
3、 阶矩阵.,二、方阵与方阵的行列式,定义 设A为 n 阶方阵,由A 的元素构成的n 阶行列式,称为矩阵A的行列式,记为 ,或 .,矩阵与行列式的有何区别?,2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称矩阵A与B相等,记作A=B.,例如,为同型矩阵.,三、同型矩阵与矩阵相等,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,4.2 矩阵的运算,1. 矩阵的加法,定义 设A,B都是mn矩阵,把它们对应位置上的元素相加得到的mn 矩阵,称为矩阵A与B的和,记为A+B. 即,如,一 、 矩阵的加法 和 数量乘法,两个矩阵只有当它们的行数、列数相同,即当它们是同型矩阵时,才可以相加.,例 某工
4、厂甲、乙两车间都生产A、B两种产品,两个车间四个季度的产量分别为,甲车间:,A B,乙车间:,A B,两个车间A、B两种产品在各季度的产量和为:,2. 矩阵与数乘法,定义 以数k乘矩阵A的每个元素得到的矩阵，称为矩阵A与数k的数量乘积，记作kA .即,例如,数 矩阵 = 矩阵,例 设3个产地与4个销地之间的里程(单位:公里)为矩阵,已知货物每吨每公里的运费为1. 5 元,则各产地与各销地之间每吨货物的运费(单位:元)为,3. 矩阵的加法、矩阵与数的乘法满足以下运算规律:,设 A、B、C、O都是mn矩阵， k、l是数,则,(1) A+B=B+A (2) (A+B)+C=A+(B+C) (3) A
5、+O=A (4) A+(-A)=O,(5) k(A+B)= kA+ kB (6) ( k+ l)A= k A+ l A (7) (kl)A= k(l A) (8) 1A=A,(1) A+B=,=B+A,(3) A+O =,=A,(5) k(A+B)=,= kA+ kB,(7),(kl)A,4. 矩阵的减法,例 已知,求 3A2B,解 3A2B=,例 已知,且2A+X=B2X求 X,解 3X=B2A,二 、矩阵的乘法,则 m行n 列矩阵,其中,称为矩阵A与B的乘积,记为C=AB.,ml,ln,mn,前列=后行,例,42,23,43,m1,m1,=,mn,n1,=,=,A,x,b,Ax=b,即线性
6、方程组,可以用矩阵方程Ax=b来表示,矩阵的乘法满足以下运算律：,(1) (AB)C=A(BC) 结合律 (2) (A+B)C=AC+BC 右分配律 C(A+B)=CA+CB 左分配律 (3) k(AB)=(kA)B=A(kB) 关于数因子的结合律,(4) AO=O OA=O,(假设下列运算都可进行）,例,解,不存在,42,23,43,例 如果AC=CA BC=CB 证明(A+B)C=C(A+B)(AB)C=C(AB),一般地ABBA,AB=O,AB=AC AO,B=C,A=O 或B=O,A B = A C,BC,定义 如果矩阵A,B 满足AB=BA,则称矩阵A与B可交换.,此时A与B必是同阶
7、方阵.,求所有与A可交换的矩阵,由AX=XA,得,所有与A可交换的矩阵为,其中a,b为任意常数,求所有与A可交换的矩阵,三 、矩阵的方幂（乘方）,设A为n 阶方阵，定义A 的k （k0）次方为:,矩阵的方幂满足算律:,注意: 只有方阵才有方幂.,设A,B,C均为n 阶方阵,一般地,只有当AB=BA,即A,B可交换时,上面等式才成立.,方阵的多项式,若,是x的n次多项式，则称,是由 f(x) 形成的方阵A的多项式,其中A是方阵,E是与A同阶的单位矩阵.,例 设,则,定义 将mn 矩阵A 的行与列互换,得到的nm 矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为 . 即如果,四、矩阵的转置,矩阵的转置有如下性质：
8、,13 32,23 31,结论:任一个nn矩阵都可以表示为一个对阵矩阵和一个反对称 矩阵的和.,同阶的对称(或反对称) 矩阵的和、数乘仍然是对称(或反对称)矩阵.,同阶的对称(或反对称) 矩阵A,B的积AB是对称矩阵的充分必要条件是:A与B可交换.,形如,对称矩阵,形如,反对称矩阵,形如,称为对角矩阵,形如,称为上三角矩阵,称为下三角矩阵,形如,同阶的对角(或上三角或下三角) 矩阵的和、差、积仍然是对角(或上三角或下三角) 矩阵.,例 设列矩阵 满足,证明,例,证,例,证,1) 若v1 , v2,都是方程组(2)的解,则v1+v2也是(2)的解.,2) 若v是齐次线性方程组(2)的解,则 cv
9、也是(2)的解.,齐次线性方程组,的解有性质：,3) 若v1 , v2, vk都是方程组(2)的解,c1, c2, , ck是任意s 个常数, 则 c1v1+ c2v2+ckvk 也是(2)的解.,(1),(2),非齐次线性方程组( 1 )和它的导出组( 2 )的解之间有关系:,1. 如果 是方程组(1)的解, 是其导出组(2)的解,则 + 是方程组(1)的解.,2. 如果 1 和 2 都是方程组(1) 的解, 则1 2是其导出组(2)的解.,结论: 若1 , 2, k都是方程组(1)的解,c1, c2, , ck是s 个常数, 并且c1 + c2 +ck=1,则 c1 1+ c2 2+ck
10、k 也是(1)的解.,3.3 矩阵乘积的行列式与秩,一 、矩阵乘积的行列式,= 28+24=4,定理1,(矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积),P9396,证：,作一个2n阶的行列式,由拉普拉斯定理,对D作行变换：,可得,这里,从而,例 证明齐次性方程组,只有零解，其中 不全为0,证,系数行列式,由 不全为0，有,即 ，故方程组只有零解,非退化矩阵也称满秩矩阵.,证,二、矩阵乘积的秩,矩阵与行列式有本质的区别:,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得值；,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.,注: 设A，B为n阶方阵,则,几种特殊矩阵,(1)行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵.,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵).,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,注意:,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,(5)方阵,称为单位矩阵(或单位阵).,称为数量矩阵.,(6)方阵,称为对称矩阵,称为反对称矩阵,称为对角矩阵,称为上三角矩阵,称为下三角矩阵,(7)方阵,(8)把矩阵,中各元素变号得到的矩阵,称为A的负矩阵,记作A.,
