1、称这个方程组为空间曲线的一般方程,空间曲线C可看作,特点：,一、空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足两个方程,满足两个方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间两曲面的交线.,例 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,C,例 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面（如图）,圆柱面（如图）,交线为蓝色部分,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,随着参数的变化可得到曲线上的,就得到曲线上的一个点,全部点.,表示空间曲线C的另一种方法是，,将C上点的坐标,x,y,z表示为一个参数t的函数得到：,动点从A点出发,螺旋线的 参数方程.,取时间t为参
2、数,解,经过t时间,运动到M点.,M在xOy面的投影,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比. 即,上升的高度,螺距,消去变量z后得：,曲线关于xOy的,设空间曲线C的一般方程：,投影柱面的特征：,三、空间曲线在坐标面上的投影,此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、,C,投影柱面.,母线垂直于所投影的坐标面.,此方程的图形是一个柱面；,若(x,y,z)满足方程组，则x,y必满足此方程，,即，曲线C必包含在在此柱面内.,例 曲线 关于xoy坐标面的投影柱 面是什么形状？,注：求空间曲线的投影柱面只要消去相应的变量即可.,C,类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上
3、的投影.,yOz面上的投影曲线,xOz面上的投影曲线,投影柱面与xOy 面的交线称为曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影),(即为曲线关于xOy面的投影柱面),(即为xOy 面),C,其方程为：,注：求空间曲线的投影只要用相应的投影柱面和坐标面方程联立即可.,交线方程为,解,求椭圆抛物面,与平面,的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.,例,(1) 消去变量z,(2) 消去变量y,(3) 消去变量x,得投影,得投影,得投影,例 求曲线 在坐标面上的投影.,解,(1) 消去变量z后得,在 xOy面上的投影为,(2) 因为曲线在平面,关于xOy面的投影柱面,上，,所以在 xOz面上,的投影为线段.,
4、例 求曲线 在坐标面上的投影.,(3) 同理在yOz面上的投影,也为线段.,由参数方程表示的空间曲线在坐标面上,在yOz平面上的投影为,在xOy平面上的投影为:,例 螺旋线,即,即,的投影也可同样求出.,例,解,半球面和锥面的交线为,一个圆,注：一般曲线的投影为平面曲线，几何体的投影为平面区域.,练习1,1.,在xOy面上的投影柱面方程是( ).,A,2. 球面 与 交线在xOy面上投影曲线方程是( ),D,练习2,1.母线平行于x轴且通过曲线,的柱面方程是,2.双曲抛物面(马鞍面),与xOy面的交线是,相交于原点的两条直线.,方程,表示( ),(A) 双曲柱面;,(D) 锥面.,(C)双叶双曲面;,(B)旋转双曲面;,B,椭圆抛物面,双曲抛物面(马鞍面）,设有曲面方程,则方程表示的曲面为,方程表示的曲面为,?,?,双叶双,曲面,它的对称轴在 轴上.,y,椭圆锥,练习,分别绕y轴和z轴旋转一周,写出所得旋转面的,方程.,将yOz轴坐标面上的曲线,解,绕y轴旋转.,或,绕z轴旋转.,或,练习,作业:,练习册 第八章，第四节 全部,课下练习:,教材 第八章，第四节 3-8,
