1、1,力学（Mechanics）, 质点力学：,复习、提高,1.使知识系统化，条理化； 2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）；, 刚体、相对论：,要认真体会其思想、观点，掌握其处理问,新内容,题的方法。,4.数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。,3.提高分析能力（量纲分析，判断结果的合,理性等）；,2,1.1 参考系 、坐标系（书1.1节 ）,1.2质点的位置矢量、运动函数（书1.1节 ）,1.3 位移、速度、加速度（书1.2、1.3 节）,1.4 匀加速运动（书1.4、1.5、1.6节 ）,1.5 圆周运动（书1.7 节）,1.6 平面曲线运动,1.7 相对运动（书1.8 节）,质点运
2、动学,注：打的内容为自学或略讲的内容（下同）,3,1.1 参考系 、坐标系,一.参考系（frame of reference, reference system）,由运动的相对性，,描述运动必须选取参考系。,参考系：,用来描述物体运动而选作参考的物体,或物体系。,运动学中参考系可任选，,不同参考系中物体,的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。, 太阳参考系（太阳 恒星参考系） 地心参考系（地球 恒星参考系） 地面参考系或实验室参考系 质心参考系（第三章3.6）,常用的参考系：,4,二. 坐标系（coordinate system）,为定量描述运动，需在参考系上固结坐标系。,坐标系：,固结在参考
3、系上的一组有刻度的射线、,曲线或角度。,参考系选定后，坐标系还可任选。不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。, 球极坐标系（ r, ）, 柱坐标系（, , z ）, 自然“坐标系”（本章1.6）,x,y,z,r, 直角坐标系（ x , y , z ）,常用的坐标系：,5,1.2 质点的位置矢量、 运动函数,一.质点位置矢量（position vector of a particle）,用来确定某时刻,位置矢量：,位置矢量（位矢、矢径）：,质点位置的矢量（用矢端表示）。,或,6,可以给出质点,二. 运动函数（function of motion）,机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。,在坐标
4、系中配上一套同步时钟，, 运动函数。,或,位置坐标和时间的函数关系,7,1.3 位移，速度，加速度,一. 位移（displacement）,位移 质点在一段时间内位置的改变。,P1,P2,位移：,轨迹,8,二. 路程（path）,质点实际运动轨迹的长度 叫路程。,注意：,要分清 等的几何意义。,9,三. 速度（velocity）,质点位矢对时间的变化率叫速度。,1.平均速度（average velocity）：,2.（瞬时）速度（instantaneous velocity）：,速度方向：沿轨迹切线方向。,速度大小（速率）（speed）：,10,四. 加速度（acceleration）,质点速
5、度对时间的变化率叫加速度。,加速度：,加速度的方向：,变化的方向,加速度的大小：,11,1.4 匀加速运动（uniformly acceleration motion）,（自学书第一章1. 4、1. 5、1. 6）,直线运动：（rectilinear motion） 抛体运动：（projectile motion）,运动学的两类问题：,求导,12,1.5 圆周运动（circular motion）,13,一. 描述圆周运动的物理量,2.角速度,3.角加速度,4.线速度（linear velocity）,（angular velocity）,（angular acceleration）,14,5
6、. 线加速度（linear acceleration）, 0,t 0时，,t0,15,是引起速度大小改变的加速度。,是引起速度方向改变的加速度。,16,二.角量与线量的关系,左图中分别是什么情形？,17,1.6 平面曲线运动,一个任意的平面曲线运动，可以视为由一系,加速度：,系称自然坐标系。,曲率半径,列小段圆周运动所组成。,当地的切线和法线所组成的坐标,在曲线上的各点固结一系列由,（plane curvilinear motion）,18,1.7 相对运动（relative motion）,相对运动是指不同参考系中观察同一物体的运动。,位移关系：,速度关系：,称为绝对速度（absolute
7、velocity）,称为相对速度（relative velocity）,称为牵连速度（connected velocity）,仅讨论参考系 S 相对参考系 S 以速度 平动的情形：,19,称为伽利略速度变换（Galilean velocity transformation）,例 雨天骑车人只在胸前铺,加速度关系：,在 相对于S平动的条件下,若,一块塑料布即可遮雨。,20,几点说明：,1.以上结论是在绝对时空观下得出的：,只有假定“长度的测量不依赖于参考系”,只有假定“时间的测量不依赖于参考系”,绝对时空观只在 u c 时才成立。,和,才能给出位移关系式：,（空间的绝对性），,（时间的绝对性），
8、,才能进一步给出关系式：,21,2.不可将速度的合成与分解和伽利略速度,速度的合成是在同一个参考系中进行的，,伽利略速度变换则应用于两个参考系之间，,3. 只适用于相对运动为平动的情形。,变换关系相混淆。,只在u c时才成立。,总能够成立；,22, 小结速度和加速度的性质：,相对性：必须指明参考系矢量性：有大小和方向，可进行合成与分解，合成与分解遵守平行四边形法则瞬时性：大小和方向可以随时间改变在 u c时，有伽利略速度变换和加速度变换,第一章结束,23,2.1 牛顿运动定律,2.2 SI单位和量纲（书2.2 ）,2.3 常见的几种力（书2.3 ）,2.4 基本的自然力（书2.4 ）,2.5
9、牛顿定律应用举例,2.6 非惯性系中的动力学问题（书2.6 2.9 ）,牛顿运动定律,注：打的内容为自学或略讲的内容（下同）,24,2.1 牛顿运动定律,第一定律 的意义：,惯性系：,力：,物体运动状态的原因）。,定义了“惯性系”（inertial frame）,定性给出了“力”与“惯性”的概念,除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。,任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，,牛顿第一定律成立的参考系。,改变物体运动状态的原因,（并非维持,25, 第二定律（Second law）,物体所受的合外力。,m ：质量（mass），,度，也称惯性质量（inertial mass）。,若m = con
10、st. ，,物体的加速度。,它是物体惯性大小的量,则有：,26, 第三定律（Third Law）,对牛顿定律的说明：,1.牛顿定律只适用于惯性系；,2.牛顿定律是对质点而言的，,而一般物体可认,为是质点的集合，,故牛顿定律具有普遍意义。,27,牛顿会高兴的（Newton would have been pleased）,2012年将返回地球。,1978年发射空间飞船ISEE3，,4年后经37次点火和5次,飞近太阳而进入了一个复杂的轨道。,85年拦截了一个,86年与哈雷慧星相遇，,彗星，,28,2.2 SI单位和量纲 （书第二章2.2节）, 国际单位制（SI）的力学基本量和单位：,质量,9 19
11、2 631 770 倍,时间,秒,s,138Cs原子某特征频率光波周期的,长度,米,m,光在真空中在（1/299 792 458）s内所经过的距离,千克,kg,保存在巴黎度量衡局的“kg标准原器”的质量,29, 量纲：,基本量以外的其他量和单位都可根据一定的关系式由基本量及其单位导出，分别称为导出量和导出单位。,为定性表示导出量和基本量间的关系，,在SI中，基本力学量是长度、质量、时间，,常不考虑关系,式中的数字因数，,这样的式子称为该物理量的量纲式，简称量纲。,某物理量 Q 的量纲通常表示为 Q 。,而将物理量用若干基本量的乘方之积,表示，,它们的量,纲分别用 L、M、T 表示。,这样，导出
12、量如速度v和力F,的量纲就分别为 v = LT1 和 F = MLT2。,只有量纲相同的项才能进行加减或用等式联接。,30,2.3 常见的几种力 （自学书第二章2.3节）,2.4 基本的自然力 （自学书第二章2.4节）,31,2.5 牛顿定律应用举例,书第二章2.5的各个例题一定要认真看。,再补充一例，同时说明做题的要求。,m,mg,z,z0,r,N,已知：桶绕 z 轴转动， = const.,水对桶静止。,求：水面形状（z - r关系）,解：, 选对象：,一小块水为隔离体 m ；, 看运动：,m作匀速率圆周运动：, 查受力：,受重力,（非粘滞流体间只能承受相互的压力）；,水,任选表面上,及其
13、余水的压力 ，,32, 列方程：,z向：,r向：,由导数关系：,(3),(1)(2)(3)得：,分离变量：,等号双方积分：,33,解得：,（旋转抛物面）,则由旋转前后水的体积不变，,得：,若已知不旋转时水深为h，,桶半径为R ，,有：,34, 验结果：, 量纲的分析：, = 1/ T2 ，,正确。, 过渡到特殊情形：,= 0，有 z = z0 = h，,正确。, 看变化趋势：,r 一定时， ( z-zo )，,合理。,复杂问题往往除动力学方程外，还需补充一些,课后作业的基本要求与此例相同。,运动学方程或几何关系如前面（3）式。,g = m / T2，,r = m，,35,2.6非惯性系中的动力
14、学问题,牛顿定律仅适用于惯性系。,为何还要在非惯性系中研究问题呢？,有些问题需要在非惯性系中研究，,有些问题在非惯性系中研究较为方便。,S ： 牛顿定律成立,S ：牛顿定律不成立,地面参考系，,地心参考系，,太阳参考系，,例如：,S,静止,静止,静止,地球自转加速度,地球绕太阳公转加速度,太阳绕银河系转加速度,（对S ）,如：,S,理由：,（赤道）,36,一. 平动非惯性系中的惯性力,S ：,故,由,得,定义惯性力（inertial force）,则有,惯性系,修改牛顿第二定律，使之于适用平动非惯性系：, 非惯性系中的,牛顿第二定律,37,相互作用，,惯性力是参考系加速运动引起的附加力，,本质
15、上是物体惯性的体现。,它不是物体间的,没有反作用力，,但有真实的效果。,二战中的小故事：,美 Tinosa号潜艇,携带16枚鱼雷,离敌舰4000码,发射4枚,斜向攻击,使敌舰停航,离敌舰 875码,垂直攻击,发射11枚,均未爆炸！,在太平洋海域,分析：,S,近距、垂直, 滑块受摩擦力大, 雷管不能被触发,38,（1）在 M 参考系,讨论 M 自由下滑后，m 对地面的运动情况。,M m,地面,直接讨论 m 对地面的运动较困难。,可分两步讨论：,m 作速率,为v 的圆周运动。,（2）M 对地作自由,落体运动。,中观察，,m 对地面的运动，,是以上两种运动的叠加。,失重情况, 在非惯性系中讨论问题更
16、方便的情况举例：,39, 失重问题,在太空中自由降落的升降机或绕地球自由飞,在那里物体可以真正做到“不受力”。,引力引起的指向地心的加速度），,受的引力被惯性离心力完全抵消而出现失重。,行的飞船均可以视为平动的非惯性系,其中物体所,所以在,这样的非惯性系中，反而能够真正做到验证惯,性定律。,（有地球,40,在飞船中几个球可以在空中摆成一个圈,41, 潮汐（tide）与惯性力,问题：,(2)为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？,解释：,由于引力不均匀（有引力梯度）才引起潮汐。,引力分布不均匀 （有引力梯度）,(1) 为什么月球对潮汐的影响比太阳大？,42,经计算(书P101P103)，太阳引起的潮
17、高：,月亮引起的潮高：,一般情况下，hS 和 hM 是矢量相加的，,只有太阳、地球和月亮几乎在同一直线上时，,二者才是算术相加的。,43,引潮力常触发地震，,地震常发生于阴历初一、十五附近（大潮期）。,1976.阴7.2，唐山,1993.阴8.15，印度,1995.阴12.17，神户,2001.阴2.1，四川雅江,如：,2001.阴2.2，印尼,44, 固体潮（形变）：, 使月球自转和公转周期最终达到一致。,影响：, 使地球自转变慢。, 使接近大星体的小星体（r rc）被引潮力撕碎。,化石生长线判断：,3亿年前，一年约400天。,由植物年轮，珊瑚和牡蛎,如SL9彗星被木星引潮力撕碎（19929
18、4）。,45,根据计算（赵凯华罗蔚茵编力学P385），,将被主星的引潮力撕碎。,R 主星半径， 主星密度， 伴星密度, 洛希极限,对地球月球系统：,若伴星的轨道半径小于某个临界半径 rc，它,46,令,设 S系相对惯性系 S 匀速转动。,1. 物体 m 在 S中静止,即：,S：,则, 惯性离心力（inertial centrifugal force）,二.匀速转动非惯性系中的惯性力,中向心力与惯性离心力平衡， m 静止。,47, 重力和纬度的关系：,重力并非地球引力，而是引力和惯性离心力的合力。,重力加速度 g 和地球纬度 的,式中：,G 万有引力常量 ，,Me 地球质量 ，,R 地球半径 ，
19、, 地球自转角速度 。,关系式为（自己推导）：,由于地球自转，地面物体会受到惯性离心力的作用。,48,2. 物体 m 在 S中运动,设物体 m 在 S中有速度,，,有关的惯性力。,先看一个特例：,在惯性系（地面）S：,在非惯性系（桌面）S：,（1）科里奥利力,则在 S中看，,m 除受惯性离心力外，,还要附加一个与速度,49,把,变换为：,令 惯性力：,则有：,在转动参考系 S中，牛顿第二定律形式上成立。,科里奥利力（Coriolis force），简称科氏力。,称作,50,总惯性力：,要附加一个科里奥利力（Coriolis force）：,S 中牛顿第二定律为：,可以证明，,一般情况下，,在匀
20、速转动参考,运动物体除受惯性离心力外，,系S 中，,都还,51, 强热带风暴漩涡的形成。, 河岸冲刷，双轨磨损(北半球右，南半球左)。,北半球的科氏力,信风的形成,风暴漩涡的形成, 落体偏东。,与科里奥利力（科氏力）有关的问题,52,傅科摆, 傅科摆,摆锤28kg，摆平面转动）,摆平面转动周期,北京，,巴黎，,这是在地球上验证地球转动的著名的实验。,（傅科,1851,巴黎伟人祠，摆长67m，,地球,摆,53,再回到 惯性系 S 中，牛顿第二定律为：,于是有：, 绝对加速度, 相对加速度, 牵连加速度, 科里奥利加速度,第二章结束,（2）科里奥利加速度,54,3.1 冲量，动量，质点动量定理,3
21、.2 质点系动量定理,3.3 动量守恒定律,3.4 变质量系统、火箭飞行原理,3.5 质心,3.6 质心运动定理,3.7 质点的角动量,3.8 角动量守恒定律,3.9 质点系的角动量,3.10 质心系中的角动量定理,前言,第三章 动量与角动量,55,前言,我们往往只关心过程中力的效果,力对时间和空间的积累效应。,力在时间上的积累效应：,平动,冲量,动量的改变,转动,冲量矩,角动量的改变,力在空间上的积累效应,功,改变能量,牛顿定律是瞬时的规律。,在有些问题中，,如：碰撞（宏观）、,（微观）,散射,56,3.1 冲量，动量，质点动量定理,定义：,力的冲量（impulse）,质点的动量（momen
22、tum）,质点动量定理：,（微分形式）,（积分形式）,（theorem of momentum of a particle）,57,平均冲力,例已知：一篮球质量m = 0.58kg，,求：篮球对地的平均冲力,解：,篮球到达地面的速率,从h=2.0m的高度下落，,到达地面后，,接触地面时间 t = 0.019s。,速率反弹，,以同样,58,船行“八面风”,59,分析：,60,3.2 质点系动量定理,为质点 i 受的合外力，,为质点 i 受质点 j 的内力，,为质点 i 的动量。,对质点 i ：,对质点系：,由牛顿第三定律有：,（theorem of momentum of particle sy
23、stem）,61,所以有：,令,则有：,或,质点系动量定理（积分形式）,用质点系动量定理处理问题可避开内力。,系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。,62,3.3动量守恒定律,这就是质点系的动量守恒定律。,即,几点说明：1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。,质点系所受合外力为零时，,质点系的总动量,不随时间改变。,（law of conservation of momentum）,63,4.若某个方向上合外力为零，,5.当外力内力,6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本,则该方向上动,尽管总动量可能并不守恒。,量守恒，,且作用时间极短时,（
24、如碰撞），,可认为动量近似守恒。,的定律，,它在宏观和微观领域均适用。,7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统,切惯性系中均守恒。,3. 动量若在某一惯性系中守恒，,则在其它一,和条件。,64, 粘附 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,低速（v c）情况下的两类变质量问题：,下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。,3.4变质量系统、火箭飞行原理（自学书3.4节和本电子教案）,这是相对论情形，,不在本节讨论之列。,以随速度改变 m = m(v)，,情况下，,还有另一类变质量问题是在高速（v c）,这时即使没有粘附和抛射，质量也可,65,条件：燃料相对箭体以恒速u
25、喷出,初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v,一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行）,1.火箭的速度,系统： 火箭壳体 + 尚存燃料,总体过程：i (点火) f (燃料烧尽),先分析一微过程： t t +dt,末态：喷出燃料后,喷出燃料的质量：dm = dM，,喷出燃料速度(对地)： v u,66,火箭壳体 +尚存燃料的质量： M dm,系统动量： ( M dm)(v + d v) + dM(v u) ,火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v,由动量守恒，有M v = dM(v - u) +( M dm)(v + d v ),经整理得： Mdv = udM,速度公式：
26、,67,引入火箭质量比：,得,提高 vf 的途径：(1)提高 u（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大 N（单级火箭N 提得很高不合算）,为有效提高N，采用多级火箭（如2级、3级）,v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3,资料：长征三号（3级大型运载火箭）全长：43.25m， 最大直径：3.35m，起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。,68,t +dt时刻：速度 v u， 动量dm(v u),由动量定理，dt内喷出气体所受冲量,2.火箭所受的反推力,研究对象：喷出气体 dm,t 时刻：速度v (和主体速度相同)，,动量 vdm,F箭对气dt = dm(v u
27、) vdm = F气对箭dt,由此得火箭所受燃气的反推力为,69,二. 重力场中的火箭发射,可得 t 时刻火箭的速度（自己推导）：,忽略地面附近重力加速度 g 的变化，,Mt ： t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量,70,3.5质心（center of mass）,一. 质心的概念和质心位置的确定,定义质心 C 的位矢为：,质心位置是质点位置以,质量为权重的平均值。,为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。,71,二.几种系统的质心, 两质点系统,m1 r1 = m2 r2, 连续体,72, “小线度”物体的质心和重心是重合的,例如图示，,C,xC,求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。,由对称性分析，质
28、心C应在x轴上。,解：,令 为质量的面密度，则,质心坐标为：,73,3.6质心运动定理（theorem of motion of center of mass）,一. 质心运动定理,即质点系的总动量,是质点系的“平均”速度,74,由, 质心运动定理,有,球往哪边移动？,该质点集中了整个质点系的质量和所受,质心的运动如同一个在质心位置处的质点的,运动，,的外力。,实际上是物体质心的运动。,在质点力学中所谓“物体”的运动，,思考,75,系统内力不会影响质心的运动，, 在光滑水平面上滑动,的扳手，, 做跳马落地动作的运,动员尽管在翻转，但, 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，,但其质心仍在做抛物线运动,其质
29、心仍做抛物线运动,例如：,其质心做匀,速直线运动,76,若合外力为零，,二 . 动量守恒与质心的运动,质点系动量守恒,若合外力分量为0，,质点系分动量守恒,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,相应的质心分速度不变,77,1. 质心系,质心系是固结在质心上的平动参考系。,质心系不一定是惯性系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,在质心系中考察质点系的运动,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。,质点系整体随质心的运动,各质点相对于质心的运动 ,78,2.质心系的基本特征,质心系是零动量参考系。,质心系中看两粒子碰撞,等值、反向的动量。,两质点系统在其,质心系中，,总是具有,79,3.7 质点的角
30、动量 （angular momentum of a particle）,一. 质点的角动量,角动量是质点运动中的一个重要的物理量，,在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。,质点m对惯性系中的固,定点O的角动量定义为：,单位：kg m2/s,大小：,方向：,决定的平面（右螺旋）,80,质点作匀速率圆周运动时，,对圆心的角动量的大小为,方向圆面不变。,L = mvR，,同一质点的同一运动，其角动量却可以随固,定点的不同而改变。,例如：,方向变化,方向竖直向上不变,81,二. 质点的角动量定理，力矩,由,有：,定义力对定点 O 的力矩 (moment of force) 为：,称力臂,82,于是有
31、, 质点角动量定理,或,积分,质点角动量定理,称冲量矩,力矩对时间的积累作用,（积分形式）,（微分形式）,83,例 锥摆的角动量,对O点：,合力矩不为零，角动量变化。,对O点：,合力矩为零，角动量大小、方向都不变。,（合力不为零，动量改变！）,84,三. 质点对轴的角动量,1. 力对轴的力矩,把对O点的力矩向过O,点的轴（如 z 轴）投影：,力对轴的力矩。,85,2.质点对轴的角动量, 质点对轴的角动量,3.对轴的角动量定理,即, 质点对轴的角动量定理,86, 质点角动量,（1） mv r sin = const.，,（2）轨道在同一平面内。,守恒定律,87,角动量守恒定律可导出行星运动的开普
32、勒第二定律：,（书161页例3.16）, 质点对轴的角动量守恒定律,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，,它不仅适用于宏观体系，,也适用于微观体系，,而且在高速低速范围均适用。,离心节速器 （KL014）,88, 星云具有盘形结构：,pc 秒差距，1pc = 3.0861016m,旋转的星云,89,星球所需向心力：,星球具有原始角动量,引力不能再使 r 减小 。,可以在引力作用下不断收缩。,粗略的解释：,引力使r到一定程度,r 就不变了，,但在z 轴方向却无此限制，,可近似认为引力：,90,3.9 质点系的角动量,质点系的角动量,（自己证）, 质点系角动量定理,于是有：,91,质点系角动量守
33、恒定律,质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？,思考, 脉冲星的角动量守恒,92,星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：,如此推算，脉冲星的 超过了白矮星密度。,这说明，脉冲星是高速旋转的中子星。,93,例,一长为l 的轻质杆端部固结一小球m1 ，,碰撞时重力和轴力都通过O，,解：,选m1（含杆）+ m2为系统,另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。,求：碰撞后杆的角速度,对O 力矩为零，故角动量守恒。,解得：,有,94,O系为惯性系,O 是惯性系中的一个定点,C 是质心兼质心坐标系原点,对质心,对O点,C 对O,3.10 质心系中的角动量定理,一. 质心系中的角动量,利用关系：,可
34、以证明（自己推导）：,95,二. 质点系对质心的角动量定理：, 质心系中质点对质心的角动量定理,即有,96,这再次显示了质心,尽管质心系可能不是惯性系，,但对质心来,说，角动量定理仍然成立。,的特殊之处,和选择质心系来讨论问题的优点。,若质心系是非惯性系，,则外力矩中应包括,惯性力对质心的力矩：,设质心加速度为,则有,这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对,质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。,97,第三章结束,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,与固定点有关,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,与固定点无关,98,4.1 功,4.2 动能定理,4.3 一对力的功,
35、4.4 保守力,4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节）,4.6 由势能求保守力（书4.8节）,4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节）,4.8 守恒定律的意义（书4.10节）,4.9 碰撞（书4.11节）,4.10 质心系中的功能关系,4.11 两体问题（书4.12节）,前言,第四章 功和能,99,前 言,机械能守恒定律。, 功的计算是否依赖参考系？ 势能是否与参考系的选择有关？ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 摩擦生热是否与参考系选择有关？,本章讨论力对空间的积累效应, 功、,动能、,势能、,动能定理、,要求：,1.深入理解以上概念，,搞清它们是属于质点、,还是属于系统？,与参
36、考系的选择有无关系？,2.搞清规律的内容、,来源、,对象、,适用条件、,与参考系的关系等。,如：,100, 4.1 功（work）,功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的, 功依赖于参考系；,标量积。, 功是标量，有正、负之分。,101,4.2 动能定理（kinetic energy theorem）, 对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：, 动能,（对惯性系）, 对质点系，有动能定理：,（各质点位移不一定相同）。,注意：,内力虽成对出现，,但内力功的和不一定,为零,102,4.3 一对力的功,一. 一对力：,m2相对m1 的元位移。,分别作用在两个物体上的大小相等、,它们通常是作用力与反作
37、用力，,但也可不是。,方向相反的力。,二. 一对力的功,103,(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2；,(2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。,况下，,1.W对 与参考系选取无关。,说明：,2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。,（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）,3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情,一对力的功必为零。,104,例如：,105,4.4 保守力（conservative force）,一. 定义,则这样的力称为保守力。,若 为保守力，,如果一对力的功与相对移动的路径无关，,而只决定于相互作用物体的始末相对位置，,则：,（此式也可作为保守力的定义）,106,
38、二. 几种保守力,1.万有引力,任何中心力 都是保守力。,107,2. 弹力,一维运动时,x 对自然长度的增加量， k 弹簧的劲度（stiffness）。,3. 重力,重力并不是地球表面附近的万有引力。,三. 非保守力作功与路径有关的力称为非保守力。例如： 摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：作功为正。,108,4.5 势能（potential energy）,利用保守力的功与路径无关的特点，可引入,一. 系统的势能 Ep,其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。,若规定系统在位形（0）的势能为零， 则：,“势能” 的概念。,定义：,系统由位形(1)变到位形(2)的过程中
39、，,109,说明：,能零点的选择与参考系的选择相混淆。,二. 几种势能,1.万有引力势能,令,有,则 C = 0，,1.势能属于相互作用的系统；,2.势能不依赖于参考系的选择，,不要将势,110,2.重力势能,令,3.弹性势能,令,有,有,111,4.6 由势能求保守力,一. 由势能函数求保守力,所以有,112,通常 EP 可以是几个坐标的函数，,若,则有：, EP 的梯度（gradient）,此时有：,113,二 . 由势能曲线求保守力,例：双原子分子势能曲线,是引力。,是斥力。,则有,引入算符,114,4.7 功能原理，机械能守恒定律,一. 功能原理（work-energy theorem
40、）,对质点系有：,引入系统的机械能,（积分形式）,（微分形式）,115,二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）,在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。,即, 机械能守恒定律,显然，孤立的保守系统机械能守恒。,即,116,如果考虑各种物理现象，计及各种能量， 则 一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律,三. 普遍的能量守恒定律,机械运动范围内的体现。,机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在,保守内力作功是系统势能与动能相互转,化的手段和度量。,117,四.守恒定律联合应用举例,例1,已知
41、：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。,求：hmax = ?,解：,m + M + 地球：,W外= 0，W内非 = 0 ，,当 h= h max 时，M 与 m有相同的水平速度 。,取地面 Ep = 0，有：,故机械能守恒。,118,分析结果的合理性：, 量纲对。,代入数据：,正确。,m + M：,水平方向F外= 0，故水平方向,mv =（m+M）V,(2),动量守恒,119,例2分析荡秋千原理：,m 表示人的质心, 12：人迅速蹲下，使有效,摆长 由l 变为l ；, 23：对（人+地球）系统，,（1）,角动量守恒：,（2）, 45：对（人+地球）系统，机械能守恒：,（
42、3）,只有重力作功，机械能守恒：,120,（1）、（2）、（3）联立解得：,人越摆越高，能量从哪儿来？,即人越摆越高。,锥体上滚 （KL003）,121,4.8 守恒定律的意义,第一，从方法论上看：,自然界中许多物理量,如动量、,角动量、,机械能、,电荷、,质量等等，,都具有相应的守恒定律。,利用守恒定律研究问题，,低速均适用。,而对系统始、末态下结论,可避开过程的细节，,（特点、优点）。,第二，从适用性来看：,守恒定律适用范围广，,宏观、,微观、,高速、,物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，,这是因为：,122,第三，从认识世界来看：,守恒定律是认识世界的很有力的武器。在新现象研究中，若
43、发现某守恒定律不成立，则往往做以下考虑：（1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，如中微子的发现。（2）引入新概念，使守恒定律更普遍化(补救)。（3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，如弱相互作用宇称（parity）不守恒。,123,不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新,都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。,第四，从本质上看：守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。,台阶。,因此守恒定律的发现、,推广、,甚至否定，,对称 在某种“变换”下的不变性。每一个守恒定律都相应于一种对称性：动量守恒相应于空间平移的对称性；能量守恒相应于时间平移的对称性；角动量守恒相应于空间转动的对称性；,124
44、, 4.9 碰撞（Collision）（书4.11节）,碰撞）等规律对问题求解。,碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的,细节进行分析。,但是通常我们只关心物体在,碰撞前后运动状态的变化，,而在碰撞中相对于,内力（往往是冲击力）来说，,外力又往往可以,忽略。,因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、,角动量守恒,和碰撞前后总动能不变（对弹性,书上的例题要认真阅读。,125,4.10 质心系中的功能关系,S（惯性系）：,S（质心系）：,126,可以证明，质心系中功能原理仍然成立：,二. 质心系中的功能原理,（积分形式）,（微分形式）, 克尼希定理,所以,127,C,S系 ：,（内力成对出现）,证明,S
45、系：,（1）,（2）,（2）,（1）,128,质心系中的功能原理成立，也可以简单地,做如下的证明：,若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。,若质心系是非惯性系，则还需考虑惯性力的功。,即：,设质心加速度为,则,于是有,129,质心系中机械能守恒定律：,守恒定律都与惯性系中形式相同。,三. 质心系中两质点系统的动能,惯性系 S：,不管质心系是否为惯性系，,功能原理和机械能,130,质心系S ：,= ,令, 相对速度, 约化质量（reduced mass）,则有,131,若,则,例如对物体（m） 地球（Me）系统：,Me m，,地球 物体质心系中，地球和物体总动能为：,地球动能的道理。, = m，
46、,此即地心系中物体的动能，,这就是我们讨论,地球 物体系统的能量问题时，,可以不考虑,132,例,k为常量。,已知：质子间相互作用电势能为,求：二者能达到的最近距离 rmin,解：,分别以速率v0 和 2v0 相向运动。,势能之和守恒（忽略万有引力） 。,能转化为静电势能。,（在实验室系如何？）,两个质子从相距很远处,两质子间只有保守内力作用，,动能和静电,在质心系中两质子达到最近距离时，,全部动,133,4.11 两体问题,两物体在相互作用下的运动问题称两体问题，,这类问题可简化为单体问题处理。,如： 粒子被原子核散射，,设质点间的作用力为中心力，,（1）,（2）,行星绕太阳运动等。,134
47、,（3）,这里固结于 m2 的平动参考系虽然不是惯性系，但只 要将m1用代替，则牛顿第二定律就适用。,在中心力作用下质点 m1 相对于 m2 的运动，,135,在两体问题中，,前面10的例题中，也可按二体问题处理：,选其中的一个质子为原点，,这和在质心系中的能量守恒方程完全一致。,第四章结束,故动量和能量的定理也都适用。,由于把另一质点的质量改为约化质量,则能量守恒关系为,参考系来说，,对固结于其中一个质点的平动,时牛顿定律成立，,136,质点力学小结提纲,一. 质点力学线索框图（见下页）,二. 解题的基本方法与步骤1. 用牛顿定律解题2. 用功能、动量、角动量及守恒定律解题,三. 总结自己在哪些方面、哪些问题上较中学有,四. 专题小结（例如惯性力、角动量、质心系）,对参考系的依赖关系。,要搞清各规律的内容、,来源、,适用对象、,成立条件、,所提高。,137,牛,系,质点,牛,牛,质点,牛,系,牛,系,138,5.1 刚体的运动,5.2 刚体的定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 转动定律应用举例,5.5 定轴转动中的功能关系,5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律,5.7 旋进,第五章 刚体定轴转动,
