1、第1章 矢量分析与场论,一、矢量和标量的定义,二、矢量的运算法则,三、矢量微分元：线元，面元，体元,四、标量场的梯度,六、矢量场的旋度,五、矢量场的散度,七、亥姆霍兹定理及重要的场论公式,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,例：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,二、矢量的运算法则,
2、1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量的表示:,其中：,矢量：,.模的计算：,.单位矢量：,.方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a. 标量积（点积）：,两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相
3、互正交的，即,有两矢量点积：,结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢
4、量三重积。,a. 标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件。,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,例1：,解：,则：,设,例2： 已知,求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。,三、矢量微分元：线元，面元，体元,例：,其中 ： 和 称为微分元。,1.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2.圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,3.球坐标系,在球坐标系中，
5、坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，即：,b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为角度，其拉梅尔数为：,注意：,每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数或,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元，面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,四、标量场的梯度,1.标量场的等值面,可以看出：标量场的函数是单值函
6、数，各等值面是互不相交的。,以温度场为例：,热源,等温面,b.梯度,定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,2.标量场的梯度,a.方向导数：,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数。,标量场的场函数为,甲：每米的温度变化为乙：每米的温度变化为丙：每米的温度变化为同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。,方向性导数不同,计算：,在直角坐标系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,某二维标量场梯度,五、矢量场的散度,1. 矢线
7、（场线）：,在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线成为矢线。,2. 通量：,定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。,表达式：,若曲面为闭合曲面：,讨论：,a. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。,b. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。,c. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量等于穿出的通量。,3.散度：,a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,c.散度的计算：,在
8、直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。,矢量场 表示为：,在 x方向上：,计算穿过 和 面的通量为,因为：,则：,在 x 方向上的总通量：,在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：,该闭合曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,4.散度定理：,物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。,柱坐标系中：,球坐标系中：,正交曲线坐标系中：,直角坐标系中：,常用坐标系中，散度的计算公式,六、矢量场的旋度,1.环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量的大小与环面的方向
9、有关。,2.旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。,表达式：,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中： 为x 方向的环量密度。,旋度可用符号表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:,类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式：,对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。,3.斯托克斯定理：,物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。,方向相反 大小相等 结果抵消,亥姆霍兹定理的简化表述如下:
10、若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即,七、 亥姆霍兹定理,矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1) 调和场,若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场,2) 有源无旋场,如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即,函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。,无旋场F沿
11、闭合路径C的环量等于零，即,这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q 有关。 标量位u的积分表达式：,由 ，有,函数A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。 无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋场,一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即,如果 ，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即,（3）无源有旋场,可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi 的叠加，即,其中Fs和Fi分别满足,于是,因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得,重要的场论公式,1. 两个零恒等式,任何标量场梯度的旋度恒为零。,任何矢量场
12、的旋度的散度恒为零。,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,在广义正交曲线坐标系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐标系中：,3. 常用的矢量恒等式,基本要求,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的几何意义 掌握矢量积、标量积的计算 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。,了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。,
