1、现代设计方法,教材：现代设计方法 梅顺齐 何雪明 主编2009年 华中科技大学出版社 主讲：杨 军2012年9月,第3章 优化设计,教学目的：优化设计概念；3.1 优化设计概述数学基础回顾；3.2 优化设计数学分析基础,第3章 优化设计,3.1.1引例,例题1：边长为L的矩形做成一个无盖之箱，使之容积最大。,解：设四角剪裁边长x的矩形，则体积为,3.1 优化设计概述,目标函数,约束条件,求解结果,第3章 优化设计,例题2：人字架的优化设计,如图所示的人字架由两个钢管构成，已知其顶点所受外力2F3105N；跨度2B152cm；钢管壁厚0.25cm，钢管材料的弹性模量E2.1105MPa，材料密度
2、7.8103kg/m3，许用压应力y=420MPa。求钢管在压应力在不超过许用压应力y和失稳临界应力e的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。,解：根据上述条件，可以把优化问题归结为： 求XD hT，使结构质量 m(X)min 但应满足强度条件： (X)y 和稳定约束条件 (X)e。,第3章 优化设计,例题3：展开式二级减速器的优化设计问题减速器的设计中，通常给定传递的功率P、总传动比I和输出的转速n。现要求在满足强度的条件下，使其体积最小，以达到结构紧凑，质量最轻的目的。,示例总结： 总结上述例题，其工程优化设计问题都要经过下列过程： 应用专业知识对具体问题进行分析；
3、确定数量关系极原始参数，建立目标函数； 根据设计要求确定约束条件； 数值求解。,需要考虑的参数：各级传动比、齿数、模数、齿宽系数、结构尺寸等等。,基本方法：建立各参数表示的质量函数f(X)，寻求X的取值使f(X)最小；同时，保证各参数的取值满足基本设计要求，如齿数取整数、模数取规定的离散值等。,第3章 优化设计,3.1.2 优化问题数学模型,优化问题的数学模型，实际上式设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。,求设计变量 使目标函数,且满足约束条件：,若将约束条件所确定的设计点的集合表示为R，则可将优化问题的数学模型简练的表示为：,第3
4、章 优化设计,3.1.3 数学模型三要素的说明,1、目标函数 使设计按预定的要求得以优化的变量关系函数称为目标函数。其可以评价设计的好坏，所以又叫做评价函数。 某各具体优化问题中目标函数的个数可能只有一个，也可能是多个，多个目标函数间的关系也不尽相同。 目标函数的建立是优化问题的重要前提，往往与专业知识紧密联系。 若目标函数是n维的，则在n+1维空间中描述。,第3章 优化设计,2、设计变量与设计空间 在优化过程中不断变化，修改，调整的参数称为设计变量。 具体问题中的参数很多，包括常量、独立变量与因变量三类，其中只有独立变量才被选为设计变量。 变量间往往存在数量关系，故而独立变量的确定并不唯一，
5、即设计变量的选取并不唯一，但应根据优化要求选择能表达优化对象的变量。 设计变量有连续型和离散型的分别，数值分析的方法适宜于连续型变量，离散优化问题通常是连续后的离散化处理。 n个设计变量Xx1 x2 xnT构成一个n维欧氏空间Rn，称为设计空间，空间中的每一点都代表一个设计方案。,3.1.3 数学模型三要素的说明,1、目标函数,第3章 优化设计,2、设计变量与设计空间,3.1.3 数学模型三要素的说明,1、目标函数,3、约束条件与可行域 约束是对设计点在设计空间中的活动范围所加的限制，其按形式可分为等式约束与不等式约束，按性质分为边界约束与性能约束。 不等式约束将欧氏空间Rn分成两部分，限制设
6、计点在其中一部分；等式约束限制了设计点在一个超曲面上。 针对性能要求提出的限制条件即为性能约束，往往由专业知识理论提出；仅仅对设计变量的取值范围进行限制的约束即为边界约束，往往由对象的实用范围提出。 所有约束条件的交集构成设计点的活动范围，这个范围称为可行域，在可行域内的设计点才是一个可行设计方案。,2、设计变量与设计空间,3.1.3 数学模型三要素的说明,1、目标函数,3、约束条件与可行域,二维问题的极值点与可行域的关系有多种情况，如现图所示,第3章 优化设计,3.1.4 优化问题的几何解释与基本解法,n维优化问题的目标函数在n+1维空间描述，而其约束关系在n维内限定。例如：,一元函数f(x
7、) 可以二维平面上的曲线来描述，其约束条件g(x) 0将数轴分为可行和非可行的两段，而h(x)=0则限制了变量在数轴上的取值点；,例题1的目标函数：,例题1的约束条件：,第3章 优化设计,再如：二元函数f(x，y)用三维空间中的三维曲面来描述，其约束条件g(x,y) 0将作为设计空间的平面分割成可行和不可行的两个区域,而h(x,y)=0限制设计变量在平面上某条曲线上。,3.1.4 优化问题的几何解释与基本解法,总结： n元函数f(X) (X=x1 x2 xnT)是n+1维超曲面，其约束条件g(X) 0将n维空间分割成可行域和不可行域两个部分,而h(X)=0限制设计变量在n维超曲面上。,第3章
8、优化设计,3.1.4 优化问题的几何解释与基本解法,优化问题的基本解法：解析法与数值解法,解析法：用数学解析求解的方法适用于一、二维问题，对于高维问题难以解决。数值解法：利用节本数值计算原理进行试验（探索）性计算，从而得到满足一定精度结果的方法不但适用于复杂函数求解，甚至无法用数学模型描述的问题也能较好的解决。,解析法之图解示例：,求Xx1 x2T使目标函数min f(X)=x12+x22-4x1+4 s.t gi(X)=-x1+x2-2 0gi(X)= x12-x2+1 0gi(X)=-x1 0,第3章 优化设计,数值方法的基本思想从某个设计点Xk开始，着眼于产生新的迭代点Xk+1，使目标函
9、数值下降。改方法的关键就在于新点的产生，目的在于使函数值下降。应用的下降迭代公式一般有：,3.1.4 优化问题的几何解释与基本解法,使：从而有：其中，Ck为对角矩阵，k是一个数值，称为步长，dk为从Xk点开始试探求取Xk+1的方向，称为搜索方向，X*表示函数极值点。,和,第3章 优化设计,数值方法的迭代准则数值迭代是逐步逼近最优点（极值点）而获得近似解，所以要考虑优化问题的收敛性及迭代过程的终止条件。,3.1.4 优化问题的几何解释与基本解法,1）点距准则,或,2）值差准则,3）梯度准则,或,第3章 优化设计,3.1.5 常见的数值方法,数值优化方法的数学理论强，计算结果的可信度高，精确度好，
10、是常用的方法。其迭代算法的核心是确定步长与搜索方向，由此产生了许多种具体算法，根据其算法特征，可以作如下类,第3章 优化设计,3.2 优化设计的数学基础,3.2.1 多元函数的方向导数与梯度,二元函数f(x,y)在点M0=(x0,y0)处的偏导数 分别表示在点延坐标轴X-Y的变化率，并定义为：,f(x,y)在点M0(x0,y0)处延某一方向d0的变化率称为方向导数，定义为,第3章 优化设计,3.2.1 多元函数的方向导数与梯度,偏导数和方向导数的关系：,式中,第3章 优化设计,类似的，三元函数f(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)延方向d0的方向导数可写为,3.2.1 多元函数的方向导数与
11、梯度,式中,多元函数f(X)=f(x1,x2,xn)在M0(x1,x2,xn) 延方向d0的方向导数可写为,式中,第3章 优化设计,3.2.1 多元函数的方向导数与梯度,多元函数多元函数f(X)=f(x1,x2,xn)在M0(x1,x2,xn)的梯度为,梯度的性质 梯度是一个向量，大小是它的模，在梯度方向上函数值上升最快； 某点的梯度方向是过改点等值线或等值面的法向； 梯度反映的函数变化规律是函数的局部性态，不是全局性态。,第3章 优化设计,3.2.2 多元函数的泰勒展开式,一元函数f(x)在x0点展开：,二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处展开,式中,第3章 优化设计,3.2.2 多元函
12、数的泰勒展开式,将二元函数推广到多元函数，在X(k) 点泰勒展开（取前三项）,式中,函数f(X)在点X(k)的梯度,函数f(X)在点X(k)的二阶导数矩阵或Hessian矩阵，也可记作G(Xk) 。显然，该矩阵为对称矩阵。,第3章 优化设计,3.2.2 多元函数的泰勒展开式,泰勒展开式的应用：,对于多元函数f(X)的泰勒展开式中，若只取前两项，即,式中只含有X的一次项，故称为f(X)的线性简化函数，在几何意义上线性简化函数表示原函数在展开点的切平面。,多元函数取泰勒展开式的前三项，即,此式中只含有二次项，故称为f(X)的二次函数形式，在优化问题中，对于二次函数可以写成如下形式,第3章 优化设计
13、,3.2.2 多元函数的泰勒展开式,其中海赛矩阵的正定与否式判断极值的条件之一，故推广作如下定义：,对于任意非0向量X，若,，则矩阵G为正定矩阵； ，则矩阵G为半定矩阵； ，则矩阵G为负定矩阵； ，则矩阵G为半负定矩阵； ，则矩阵G为不定矩阵；,当海赛矩阵G为正定矩阵时，则称f(X)为正定二次函数，且具有如下性质： 1）正定二次函数的等值线或等值面是一簇同心圆或椭圆，其中心点既是极小值点； 2）非正定二次函数再极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。,判断凸规划的条件。,第3章 优化设计,3.2.3 优化问题的极值条件,所谓极值条件就是使目标函数取极小值时所应满足的条件。,1. 一元函数极
14、值条件：,，则 为极小值点； ，则为极大值点； ，则还需判定更高阶导数的符号，开始不为0的导数阶数为偶数，则 为极值点，是奇数，则 为拐点；,2. 二元函数极值条件：二元函数在某点取得极小值的条件是：该点的梯度为0，且该点的二阶导数矩阵（海赛矩阵）正定。,且,注：一般来说，在实际计算中，二阶导数阵（海赛阵）不易求出，正定条件的判断更为困难，通常在所取点符合实际物理意义条件下只判断梯度为0作为准则。,(负定对应极大值),第3章 优化设计,3. 等式约束优化问题的极值条件,3.2.3 优化问题的极值条件,等式约束优化问题即为：求设计变量 使目标函数,且满足约束条件：,此类问题通常有两种方法：消元法
15、（降维法）和拉格朗日乘子法（升维法）。,消元法以二元函数为引例进行说明,求解 使函数 ，满足条件,解：由 ，可得 ，代入目标函数有,从而等式约束的优化问题转化为无约束问题，求解x2后边可得原问题得解。,注意：二维问题最多只能有一个等式约束,第3章 优化设计,3.2.3 优化问题的极值条件,对于n维问题有类似的方法将等式约束问题转化为无约束问题，通过对无约束问题的求解得到原问题的最优解。,约束条件 构成一个方程组,，式中,由线性代数知识可知，方程组有多解的条件是 ，为便于说明，我们设 ，对系数矩阵进行初等行变换可化为如下形式,第3章 优化设计,从而可以得到,将 代入到原目标函数可得,从而转化为无
16、约束优化问题：求 ，使得,由其最优解 得到原问题的最优解,第3章 优化设计,拉格朗日乘子法,3. 等式约束优化问题的极值条件,3.2.3 优化问题的极值条件,该方法的基本思想同样可以用二维问题简单说明,求解 使函数 ，满足条件,解：引入拉格朗日乘子 构造拉格朗日函数,由 解得驻点，由 正定判断极值点。,从而等式约束的优化问题转化为无约束问题,第3章 优化设计,对于n维问题，求 使得 ，约束条件,解：引入m个拉格朗日乘子构造拉格朗日函数,或简记为,式中，,由 解得极值点（其实是驻点）。,拉格朗日乘子法,第3章 优化设计,拉格朗日乘子法,根据拉格朗日乘子法可知,改写为,该式的几何意义为：约束条件下
17、目标函数极值点处的负梯度方向是各个约束函数在该点梯度的线性组合。,第3章 优化设计,4. 不等式约束优化问题的极值条件,3.2.3 优化问题的极值条件,库恩塔克条件（K-T条件）,对于元函数不等式约束优化问题,利用拉格朗日法引入m个松弛变量,使不等式约束变成等式约束,从而组成相应的拉格朗日函数,第3章 优化设计,从而组成相应的拉格朗日函数,式中， ，并有非负要求，即,根据无约束极值条件，在极值点处有,上三组方程中，第三组方程对所有可行域内的点都成立，可以从方程组中划掉；对第二组方程进行讨论：,第3章 优化设计,讨论：,若 ，则在第一组方程中没有 项，即 未起到约束作用；如果 ，则约束 对极值点
18、起限制作用，从而 和 至少必有一个取零值，所以第二组方程可以改写为：,于是得到具有不等式约束多元函数极值条件：,第3章 优化设计,这就是著名的库恩塔克条件。若引入起作用约束的下标集合,库恩塔克条件又可以写为,将上式偏微分形式写成梯度形式有,或,该式表明库恩塔克(K-T)条件的几何意义：在约束极值点处，目标函数的负梯度方向是各个约束在该点梯度的非负线性组合。,第3章 优化设计,补充问题：关于二次型,在线性代数中将二次齐次函数称为二次型，其可以表达成：,或写成矩阵形式：,其中：,并定义，若对于任意不为0的X，都有f(X)0，则称矩阵A正定。,第3章 优化设计,矩阵A是否正定性的判定准则有：,补充问
19、题：关于凸规划,1）由定义判定； 2）A的所有特征值全大于0； 3）A的各阶主子式均大于0； 4）若偶次主子式大于0而奇次主子式小于0，则A负定；,目标函数的凸性判断： Hessian矩阵半正/负定,第3章 优化设计,例题1：,求二次函数 在点X0（2,1）的二次函数，并判定是否正定。,解：,第3章 优化设计,例题2：,第3章 优化设计,第3章 优化设计,第3章 优化设计,第3章 优化设计,作业：,1. P127 3-13题 2. 利用3-14题模型完成：（1）写出目标函数的海赛矩阵，判断其正定性，并判断目标函数的凸性；（2）绘制优化问题的二维解析图示；（3）判断（1,0）点是否为约束极值点；（3）K-T法求该优化问题的极值点； 3. P127 3-15题,Thank You !,,
