新编高中数学复习学案.docx

1、第 1 页 共 305 页新编高中数学复习学案第一章 集合与简易逻辑第 1 课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往

2、往渗透数形思想和分类讨论思想【基础练习】1.集合 (,)02,xyyxZ用列举法表示 2.设集合 1,Ak， 2,BkZ，则 AB 3.已知集合 0,2M， ,NxaM，则集合 N_4.设全集 1,3579I，集合 1,59A， 5,7ICA，则实数 a 的值为_【范例解析】例.已知 R为实数集，集合 230Ax.若 RBCA，0,2第 2 页 共 305 页01RBCAx或 23x，求集合 B.分析：先化简集合 A，由 RBC可以得出 A与 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.【反馈演练】1设集合 2,1A， 3,B， 4,2C，则 CBAU=_2设 P， Q 为两个非空实数集

3、合，定义集合 P+Q= ,520,|Pba若6,，则 P+Q 中元素的个数是_ _个3设集合 260x， 23xa.（1）若 P，求实数 a 的取值范围；（2）若 Q，求实数 a 的取值范围；（3）若 03Px，求实数 a 的值.第 3 页 共 305 页第 2 课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系2. 了解逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的含义；能用“或” ， “且” ， “非”表述相关的数学内容3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地

4、对含有一个量词的命题进行否定【基础练习】1.下列语句中： 230x；你是高三的学生吗？ 315； 6其中，不是命题的有_ 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则 p ，否命题可表示为 pq若 则 ，逆否命题可表示为 qp若 则 ；原第 4 页 共 305 页命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题【范例解析】例 1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd.分析：先将原命题改为“若 p 则 q”，在写出其它

5、三种命题.解：（1）原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： （2）原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： （3）原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： 第 5 页 共 305 页点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式，找出其条件 p 和结论 q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题 p 的否定即 时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或” ， “或”的否定为“且” ， “都是”的否定为“不都是”等.例 2.写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”， “p 且 q”， “非 p”形式的命题

6、，并判断真假.（1） p：2 是 4 的约数， q：2 是 6 的约数；（2） p：矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相平分；（3） p：方程 210x的两实根的符号相同， q：方程 210x的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.例 3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1） p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；（2） p：每一个非负数的平方都是正数；（3） p：存在一个三角形，它的内角和大于 180；（4） p：有的四边形没有外接圆；（5） p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“ ,()xMp”的否定是“ ,()xMp”，特称命题

7、“,()xp”的否定是“ ,()” .第 6 页 共 305 页点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语 等于 大于 小于 是 都是否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 【反馈演练】1命题“若 aM，则 b”的逆否命题是_.2已知命题 p： 1sin,xR，则 :p. 3若命题 m 的否命题 n，命题 n 的逆命题 p，则 p 是 m 的_ _. 4命题“若 ba，则 12ba”的否命题为_5分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假（1）设 ,R，若

8、0，则 或 0；（2）设 ab，若 ,ab，则 a第 7 页 共 305 页第 3 课 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合 PQ，则 是 的充分条件；若集合 ，则 是 的必要条件；若集合 P，则 是 的充要条件3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【基础练习】1.若 pq，则 是 的充分条件若 qp，则 是 q的必要条件若，则 是 的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知 :2px， :q，

9、那么 p是 q的_ _条件（2）已知 两直线平行， 内错角相等，那么 p是 q的_ _条件 （3）已知 :四边形的四条边相等， :四边形是正方形，那么 p是 q的_ _条件3.若 xR，则 1的一个必要不充分条件是 第 8 页 共 305 页【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1） 2,.xy是 4,.y的_条件；（2） (4)10x是 x的_条件；（3） 是 tant的_条件；（4） 3xy是 1x或 2y的_条件.分析：从集合观点“小范围 大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.【反馈演练】1设集合 30|xM， 20|xN，则“ M

10、a”是“ Na”的_ 条件2已知 p：1 x2， q： x(x3)0，则 p 是 q 的 条件3已知条件 2:1ARa，条件 2:30BxR若q是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围第 9 页 共 305 页第 10 页 共 305 页2012 高中数学复习讲义 第二章 函数 A【知识导读】第 11 页 共 305 页【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解1.活用“定义法”解题定义是一切法则

11、与性质的基础，是解题的基本出发点利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等2.重视“数形结合思想”渗透 “数缺形时少直观，形缺数时难入微” 当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题3.强化“分类讨论思想”应用分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次

12、，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重” 4.掌握“函数与方程思想” 函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题第 1 课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数【基础练习】1设有函数组： yx， 2； yx， 3； yx， ；第 12 页 共 305 页1(

13、0),xy， xy； lg1yx， lg0xy其中表示同一个函数的有_ 2.设集合 02Mx， 02Ny，从 M到 N有四种对应如图所示：其中能表示为 M到 N的函数关系的有_ 3.写出下列函数定义域：(1) ()13fx的定义域为_； (2) 21()fx的定义域为_；(3) 1()fxx的定义域为_； (4) 0(1)xf的定义域为_4已知三个函数:(1) ()PxyQ； (2) 2()nyPx*)N； (3) ()logQxyP写出使各函数式有意义时， ()， 的约束条件：(1)_； (2)_； (3)_5.写出下列函数值域：R1x,0)(,)(,1)(,0)0x()0x且 且()0x(

14、)()1x第 13 页 共 305 页(1) 2()fx， 1,23x；值域是 2,61(2) 2f； 值域是 ,)(3) ()1fx， (,x 值域是 (2,3【范例解析】例 1.设有函数组：21()xf， ()1gx； ()1fxx，2()1gx； 2fx， ()1gx； ()21fx， ()21gt其中表示同一个函数的有分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同解：在中， ()fx的定义域为 1x， ()gx的定义域为 R，故不是同一函数；在中， f的定义域为 1,)， (的定义域为 ,1,)，故不是同一函数；是同一函数点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同

15、一函数而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可例 2.求下列函数的定义域： 21yx； 12()log()xf；解：（1） 由题意得： 20,1x解得 1且 2x或 且 x，故定义域为 (,)(,)(2,) 由题意得： 12log0x，解得 x，故定义域为 (1,2)例 3.求下列函数的值域：（1） 24yx， ,3)x；第 14 页 共 305 页（2）21xy()R；（3） 分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域（1） 解： 224()yxx， 0,3)x， 函数的值域为 2,；（2） 解法一：由

16、 221， 21，则 210x，01y，故函数值域为 0,)解法二：由2x，则 21y， 20x， 1y， 1y，故函数值域为 ,)（3）解：令 1xt(0)，则 2xt， 22()ytt，当 0t时， 2y，故函数值域为 ,)点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围【反馈演练】1函数 f(x) x21的定义域是_2函数 )34(log)(2xf 的定义域为_3. 函数 21()yRx的值域为_(,0(1,2),30,(,4第 15 页 共 305 页4. 函数 2314yxx的值域为_5函数 )(log25.

17、0的定义域为_6.记函数 f(x)= 13的定义域为 A，g(x)=lg (xa1)(2ax)(a0，得 (xa1)(x2a)2a，B=(2a，a+1) BA， 2a1 或 a+11，即 a 2或 a2，而 a1， 21a1 或 a2，故当 BA 时， 实数 a 的取值范围是 (, 2 21,1)13,0)(,4第 16 页 共 305 页第 2 课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程

18、组法求解析式【基础练习】1.设函数 ()23fx， ()5gx，则fg_； f_2.设函数 1()fx， 2()gx,则 (1)g_3_； (2)fg17；()fg233.已知函数 ()fx是一次函数，且 (3)7f， (5)1f,则 ()f_15_4.设 f(x) 2|1|,|, x，则 ff( 21)_67x64x43(0x 2)|1|y第 17 页 共 305 页5.如图所示的图象所表示的函数解析式为_【范例解析】例 1.已知二次函数 ()yfx的最小值等于 4，且 (0)26f，求 ()fx的解析式分析：给出函数特征，可用待定系数法求解解法一：设 2()(0)fxabc，则 26,4,

19、.cab解得2,46.abc故所求的解析式为 2()46fx解法二： 0， 抛物线 ()yfx有对称轴 1x故可设2()1)()fxa将点 ,6代入解得 故所求的解析式为 2()46f解法三：设 ()6.Ffx，由 (0)6f，知 0Fx有两个根 0，2，可设 (2xaa， ()(fa，将点 (1,4)代入解得 故所求的解析式为 246点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km，甲 10 时出发前往乙家 如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（km）与时

20、间 x（分）的关系试写出 ()yfx的函数解析式分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式解：当 0,3x时，直线方程为 15yx，当 40,6时，直线方程为 120yx，例 2第 18 页 共 305 页10,35()2(4),6.1xf点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达要注意求出解析式后，一定要写出其定义域【反馈演练】1若 ()2xef， ()2xeg，则 ()fx（ D ） f g 2()gx 2()fxg2已知 1)23fx，且 ()6fm，则 m 等于_3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x 22

21、x求函数 g(x)的解析式解：设函数 y的图象上任意一点 0,Qy关于原点的对称点为 ,Py，则00,2.,xxyy即点 0,Qx在函数 fx的图象上 222,yygx， 即 故 14第 19 页 共 305 页第 3 课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性【基础练习】1.下列函数中： 1()fx； 21fx； ()fx； ()1fx其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有_2.函数 yx的递增区间是_ R _3.函数 23的递减区间是_(,1(1,)第 20 页 共 305 页4.已知函数 ()yfx在定义

22、域 R 上是单调减函数，且 (1)(2faf，则实数 a 的取值范围_5.已知下列命题：定义在 R上的函数 ()fx满足 (2)1f，则函数 ()fx是 R上的增函数；定义在 上的函数 f满足 f，则函数 f在 上不是减函数；定义在 R上的函数 ()fx在区间 (,0上是增函数，在区间 0,)上也是增函数，则函数 ()fx在 上是增函数；定义在 上的函数 ()fx在区间 (,0上是增函数，在区间 (0,)上也是增函数，则函数 ()fx在 R上是增函数其中正确命题的序号有_【范例解析】例 . 求证：（1）函数 2()31fxx在区间 3(,4上是单调递增函数；（2）函数 21()fx在区间 (,

23、)和 (,)上都是单调递增函数分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定证明：（1）对于区间 3(,4内的任意两个值 1x， 2，且 12x，因为 22121() (3)fxfx2123x12123()，又 124x，则 120x， 123x，得 12()0x，第 21 页 共 305 页故 1212()3()0xx，即 12()0fxf，即 12()fxf所以，函数 2()3f在区间 3(,4上是单调增函数（2）对于区间 (,1)内的任意两个值 1x， 2，且 12x，因为 1212()xfxf123()x，又 12，则 120x， 1()0， 2()0得， 12()0x故 12

24、3()x，即 12()ffx，即 12()fxf所以，函数 ()1xf在区间 (,)上是单调增函数同理，对于区间 (,)，函数 21()xf是单调增函数；所以，函数 21()xf在区间 (,1)和 (,)上都是单调增函数点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值x， 2；（2）作差 12()fxf，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论例 2.确定函数 ()fx的单调性分析：作差后，符号的确定是关键解：由 120x，得定义域为 1(,)2对于区间 1(,)2内的任意两个值 1x， 2，且12，第 22 页 共 305 页则 1212()fxfx2112x

25、2112()x又 120x， 1212()0xx，12()ff，即 12)ffx所以， ()fx在区间 (,)上是增函数点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定【反馈演练】1已知函数 1()2xf，则该函数在 R上单调递_减_， （填“增” “减” ）值域为_2已知函数 2()45fxmx在 (,2)上是减函数，在 (2,)上是增函数，则(1)f_25_.3. 函数 2yx的单调递增区间为 1,2.4. 函数 2()1f的单调递减区间为 (, 5. 已知函数 ()2axf在区间 (,)上是增函数，求实数 a 的取值范围解：设对于区间 (,)内的任意两个值 1x， 2，且 12x，(0,

26、1)第 23 页 共 305 页则 1212()axfxf211()0ax，120， 1()0， 2()0得， 12()， 120a，即a第 4 课 函数的奇偶性【考点导读】第 24 页 共 305 页1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数【基础练习】1.给出 4 个函数： 5()fx；421()xf； ()25fx；()xfe其中奇函数的有_；偶函数的有_；既不是奇函数也不是偶函数的有_2. 设函数 xaf1为奇函数，则实数 a 1 3.

27、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A. Rxy,3 B. Rxy,sin C. Rxy, D.)21(【范例解析】例 1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(1)xf； （2） 2()lg1)fxx； （3） 2()lgfxx； （4） ()1fx；（5） 2()1f； （6）2(0),().fx分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断解：（1）定义域为 xR，关于原点对称； 222(1)(1)xxxf第 25 页 共 305 页2(1)(xf,所以 ()fx为偶函数（2）定义域为 R，关于原点对称； 22()lg(1)lg(1)lg0fxfxx，

28、ff，故 f为奇函数（3）定义域为 (,0)(,)x，关于原点对称； ()0fx， ()(fxf且()ff，所以 fx既为奇函数又为偶函数（4）定义域为 1,)，不关于原点对称；故 ()fx既不是奇函数也不是偶函数（5）定义域为 xR，关于原点对称； 14f， 2f，则 (1)ff且(1)(ff，故 ()f既不是奇函数也不是偶函数（6）定义域为 x，关于原点对称；2()(0),().xf，2(0),().xf又 (f，2(),()0.xf()(fxf，故 ()fx为奇函数点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即 ()(fxf或 )(fxf判断，注意定义的等价

29、形式 ()0fxf或0例 2. 已知定义在 R上的函数 ()fx是奇函数，且当 0x时， 2()fx，求函数第 26 页 共 305 页()fx的解析式，并指出它的单调区间分析：奇函数若在原点有定义，则 (0)f 解：设 0x，则 ， 2fx又 ()f是奇函数， ()(ff， 2()ffxx当 0x时， )0f综上， ()fx的解析式为22,0(),xxf作出 ()fx的图像，可得增区间为 (,1， ,)，减区间为 1,0)， (,点评：（1）求解析式时 0x的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“ ”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“ x”实现转化；（4）根据图像写单调区间 【

30、反馈演练】1已知定义域为 R 的函数 xf在区间 ,8上为减函数，且函数 8xfy为偶函数，则（ D ）第 27 页 共 305 页A 76f B 96f C 97f D10f2. 在 R上定义的函数 xf是偶函数，且 xf2，若 f在区间 2,1是减函数，则函数 xf（ B ）A.在区间 1,2上是增函数，区间 4,3上是增函数B.在区间 ,上是增函数，区间 ,上是减函数C.在区间 1,2上是减函数，区间 4,3上是增函数D.在区间 ,上是减函数，区间 ,上是减函数3. 设 3,21，则使函数 xy的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为_1，3 _4设函数 )(Rxf为奇函数， ),2()

31、2(,1)(fxff 则)5(f_5若函数 )(xf是定义在 R 上的偶函数，在 0,(上是减函数，且 0)2(f，则使得0的 x 的取值范围是（2，2） 6. 已知函数21()axfbc(,)Z是奇函数又 (1)2f， ()3f,求 a，b，c 的值；解：由 ()(fxf，得 ()xcb，得 0c又 (1)2f，得 1ab，25第 28 页 共 305 页而 (2)3f，得 413a，解得 12a又 Z， 0a或 1若 0a，则 2bZ，应舍去；若 ，则 1b所以， 1,0c综上，可知 ()fx的值域为 ,1234第 5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数

32、的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1） 2xy 12xy 123xy；（2） 2log 2log()x (3)yx2.作出下列各个函数图像的示意图：向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位作关于 y 轴对称的图形 向右平移 3 个单位第 29 页 共 305 页（1） 31xy； （2） 2log()yx； （3） 21xy解：（1）将 x的图像向下平移 1 个单位，可得 1xy的图像图略；（2）将 2logy的图像向右平移 2 个单位，可得 2log()的图像图略；（3）由 1x，

33、将 1yx的图像先向右平移 1 个单位，得 1yx的图像，再向下平移 1 个单位，可得 2的图像如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1） 12log()yx； （2） 1()xy； （3） 12logyx； （4） 21yx解：（1）作 12l的图像关于 y 轴的对称图像，如图 1 所示；（2）作 ()xy的图像关于 x 轴的对称图像，如图 2 所示；（3）作 12log的图像及它关于 y 轴的对称图像，如图 3 所示；（4）作 yx的图像，并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，如图 4 所示第 30 页 共 305 页4. 函数 ()|1|fx的图象是 （ B ）【范例解析】例 1.作出函数 2()3fxx及 ()f， ()fx， 2)f， (fx， )f的图像分析：根据图像变换得到相应函数的图像解： ()yfx与 ()yfx的图像关于 y 轴对称；