新编高三数学专题复习.docx

1、 第 1 页 共 513 页新编高三数学专题复习专题一 集合、逻辑与不等式集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的11 集 合【知识要点】1集合中的元素具有确定性、互异性、无序性2集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图

2、示法( 韦恩图 )，一些数集也可以用区间的形式表示3两类不同的关系：(1)从属关系 元素与集合间的关系；(2)包含关系 两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)4集合的三种运算：交集、并集、补集【复习要求】1对于给定的集合能认识它表示什么集合在中学常见的集合有两类：数集和点集2能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系3掌握集合的交、并、补运算能使用韦恩图表达集合的关系及运算4把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等【例题分析】例 1 给出下列六个关系：(1)0N * (2)0 1，1 (3) 0第 2 页 共 513 页(4) 0 (5)00，1 (6)

3、0 0其中正确的关系是_解答：(2)(4)(6)【评析】1熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作 ；N 表示自然数集；N 或 N*表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R表示实数集2明确元素与集合的关系及符号表示：如果 a 是集合 A 的元素，记作：aA；如果 a 不是集合 A 的元素，记作：a A3明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集记作：A B 或 B A如果集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么，集合 A 叫做集合 B 的真子集A B 或 B A4子集的

4、性质：任何集合都是它本身的子集：A A；空集是任何集合的子集： A；提示：空集是任何非空集合的真子集传递性：如果 A B，B C，则 A C；如果 A B，B C，则 A C例 2 已知全集 U 小于 10 的正整数，其子集 A，B 满足条件( UA)( UB)1，9，A B 2，B( UA)4 ，6，8 求集合 A，B解：根据已知条件，得到如图 11 所示的韦恩图，第 3 页 共 513 页图 11于是，韦恩图中的阴影部分应填数字 3，5，7故 A2 ，3，5，7，B2 ，4，6，8【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合 A、B，由既属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合叫做

5、A、B 的交集记作：AB对于两个给定的集合 A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B 的并集记作：A B如果集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合叫做 A 在 U 中的补集记作 UA2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且” 、 “或” 、 “非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题例 3 设集合 M x1x2，N xxa若 MN ，则实数a 的取值范围是_答：( ，1 【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当 a 变化时是否能够取

6、到区间端点的值象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具例 4 设 a，bR，集合 ，则 ba_,0,1ab【分析】因为 ，所以 ab0 或 a0(舍去，否则 没, ab有意义) ，所以，ab0， 1，所以11，ab，a ，a1，结合 ab0，b1，所以 ba2练习 11第 4 页 共 513 页一、选择题1给出下列关系： ； Q；3 N*； 其中R21Q|3|正确命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42下列各式中，A 与 B 表示同一集合的是( )(A)A(1，2)，B(2，1) (B)A1，2，B2，1(C)A0，B (D)Ayyx 21 ，Bxyx 21

7、3已知 M(x，y )x0 且 y0，N( x，y)xy0 ，则 M，N 的关系是( )(A)M N (B)N M (C)MN (D)MN 4已知全集 UN，集合 Axx2n，nN，Bxx 4n，nN ，则下式中正确的关系是( )(A)U AB (B)U( UA)B (C)UA( UB) (D)U( UA)( UB)二、填空题5已知集合 A xx 1 或 2x 3 ，Bx 2x 4 ，则AB_6设 M1，2，N1，2，3，P cca b，aM，bN ，则集合 P中元素的个数为_7设全集 UR，A xx3 或 x2 ，Bx1x 5 ，则( UA)B_.8设集合 Sa 0，a 1，a 2，a 3，

8、在 S 上定义运算 为：a i aja k，其中 k 为ij 被 4 除的余数，i，j0，1，2，3则 a2 a3_；满足关系式(x x) a2a 0 的 x(xS)的个数为_三、解答题9设集合 A1 ，2，B1 ，2，3，C2 ，3，4，求(AB )C第 5 页 共 513 页10设全集 U小于 10 的自然数 ，集合 A，B 满足 AB 2，( UA)B4 ，6，8，( UA)( UB)1，9，求集合 A 和 B11已知集合 A x2x4，Bxxa，AB ，求实数 a 的取值范围；ABA ，求实数 a 的取值范围；AB ，且 ABA ，求实数 a 的取值范围12 常用逻辑用语【知识要点】1

9、命题是可以判断真假的语句2逻辑联结词有“或” “且” “非” 不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题可以利用真值表判断复合命题的真假第 6 页 共 513 页3命题的四种形式原命题：若 p 则 q逆命题：若 q 则 p否命题：若 p，则 q逆否命题：若 q，则 p注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系4充要条件如果 p q，则 p 叫做 q 的充分条件，q 叫做 p 的必要条件如果 p q 且 q p，即 q p 则 p 叫做 q 的充要条件，同时，q 也叫做 p的充要条件5全称量词与存在量词【复习要求

10、】1理解命题的概念了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义3理解全称量词与存在量词的意义能正确地对含有一个量词的命题进行否定【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“pq” “pq” “ p”形式的复合命题，并判断它们的真假(1)p：0N， q：1 N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分解：(1)pq： 0N，或 1 N；pq：0N，且 1 N； p：0 N因为 p 真，q 假，所以 pq 为真，pq 为假， p 为假(2)pq

11、：平行四边形的对角线相等或相互平分pq：平行四边形的对角线相等且相互平分第 7 页 共 513 页p：存在平行四边形对角线不相等因为 p 假，q 真，所以 pq 为真，pq 为假， p 为真【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表例 2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假(1)若 a2b 2 0，则 ab0；(2)若 ABA，则 A B解：(1)逆命题：若 ab0，则 a2b 20；是假命题否命题：若 a2b 20，则 ab0；是假命题逆否命题：若 ab0，则 a2b 20；是真命题(2)逆命题：若 A B，则 ABA；是真命题否命题：若 ABA ，则 A 不是 B 的真

12、子集；是真命题逆否命题：若 A 不是 B 的真子集，则 ABA 是假命题评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题例 3 指出下列语句中，p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件(1)p：(x2)(x3) 0；q ：x 2；(2)p：a2； q：a0【分析】由定义知，若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 p q 且 q p，p 与 q 互为充要条件于是可得(1)中 p 是 q 的必要不充分条件；q 是 p 的充分不必要条件(2)中 p 是 q 的充分不必要条件；q 是 p

13、 的必要不充分条件【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断 p 与 q 之间谁能推出谁了例 4 设集合 M xx2，Nxx3，那么“xM 或 xN”是“xM N ”的( )第 8 页 共 513 页(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)非充分条件也非必要条件解：条件 p：x M 或 x N，即为 xR；条件 q： xMN，即为xR 2x 3 又 R xR2x3 ，且 xR2x3 R，所以 p 是 q 的必要非充分条件，选 B【评析】当条件 p 和 q 以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件 p 的元

14、素构成集合 A，满足条件 q 的元素构成集合 B，若 A B 且 B A，则 p 是 q 的充分非必要条件；若 A B 且 B A，则 p 是 q 的必要非充分条件；若 AB，则 p 与 q 互为充要条件例 5 命题“对任意的 x R，x 3x 210”的否定是 ( )(A)不存在 xR，x 3x 210， (B)存在 x R，x 3x 210(C)存在 xR，x 3x 210 (D)对任意的 xR ，x 3x 210【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题其否定为“存在xR，x 3x 210 ”答：选 C【评析】注意全(特) 称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称

15、量词) ，并把结论否定练习 12一、选择题1下列四个命题中的真命题为( )(A) xZ，14x 3 (B)xZ ，3x 10(C) xR，x 210 (D)xR，x 22x20第 9 页 共 513 页2如果“p 或 q”与“非 p”都是真命题，那么( )(A)q 一定是真命题 (B)q 不一定是真命题(C)p 不一定是假命题 (D)p 与 q 的真假相同3已知 a 为正数，则“ab”是“b 为负数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4 “A 是 B 的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的 xA xB，则称 A B”那么“A 不是

16、 B 的子集”可用数学语言表达为( )(A)若 xA 但 x B，则称 A 不是 B 的子集(B)若 xA 但 x B，则称 A 不是 B 的子集(C)若 x A 但 xB，则称 A 不是 B 的子集(D)若 x A 但 xB，则称 A 不是 B 的子集二、填空题5 “ p 是真命题”是“pq 是假命题的”_条件6命题“若 x1，则 x1”的逆否命题为 _7已知集合 A，B 是全集 U 的子集，则“A B”是“ UB UA”的_条件8设 A、B 为两个集合，下列四个命题：A B 对任意 xA，有 x B A B AB A B A B A B 存在 xA ，使得 x B其中真命题的序号是_(把符

17、合要求的命题序号都填上)三、解答题9判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；第 10 页 共 513 页(2)至少有一个整数，它既能被 2 整除又能被 5 整除；(3) x xx Z，log 2x0；(4) .41,2R10已知实数 a，bR试写出命题：“a 2b 2 0，则 ab0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由13 不等式( 含推理与证明)【知识要点】1不等式的性质(1)如果 ab ，那么 ba；(2)如果 ab ，且 bc ，那么 ac；(3)如果 ab ，那么 ac bc(如果 acb，那么 abc)；(4)如果 a

18、b ，c d，那么 acbd；(5)如果 ab ，c 0，那么 acbc；如果 ab，c 0，那么 acbc；(6)如果 ab 0，c d0，那么 acbd；(7)如果 ab 0，那么 anb n(nN ，n1) ；(8)如果 ab 0，那么 ；)1,x2进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：第 11 页 共 513 页若 aR，则 )R(0.|;02 aa3会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式简单的含参数的不等式4均值定理：如果 a、bR ，那么 当且仅当 ab 时，式中.2ab等号成立其他常用的基本不等式：如果 a、bR，那么 a2 b22ab，(ab) 2

19、0如果 a、b 同号，那么 .5合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法【复习要求】1运用不等式的性质解决以下几类问题：(1)根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系2熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法并会解简单的含参数的不等式3了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理能较为灵活的运用综合法、分析

20、法与反证法证明数学问题熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法” ；综合法：从已知推导致结果的思维方法；分析法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；反证法：由证明 p q 转向证明 q r t，而 t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为假，进而推出 q 为真的方法，叫做反证法一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写第 12 页 共 513 页【例题分析】例 1 若 abc ，则一定成立的不等式是 ( )Aac bc BabacCacbc D cba1【分析】关于选项 A当 c0 时，ac bc不成立关于选项 B当 a0

21、时，abac 不成立关于选项 C因为 ab，根据不等式的性质 acbc ，正确关于选项 D当 ab0c 时， 不成立所以，选 C1例 2 a，bR，下列命题中的真命题是( )A若 ab，则ab B若 ab，则 b1C若 ab，则 a3b 3 D若 ab，则1【分析】关于选项 A当 a1，b2 时， ab不成立关于选项 B当 a0，b0 时， 不成立关于选项 C因为 ab，根据不等式的性质 a3b 3，正确关于选项 D当 b0 时， 不成立所以，选 C1【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法判断不等式的理论依据参看本节的知

22、识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例 2 对正确的选项判断那样判断一个不等式是不正确的，应举出反例例 3 解下列不等式：(1)x2x10；(2) x23x 20；(3)2x 23x10；第 13 页 共 513 页(4) (5)2x13；(6);0x .12x解：(1)方程 x2x10 的两个根是 结合函数 yx 2x 1 的5,21图象，可得不等式 x2x 10 的解集为 .1|x(2)不等式 x23x20 等价于(x1)( x2)0，易知方程(x1)( x2)0

23、 的两个根为 x11，x 22，结合函数 y x23x2 的图象，可得不等式 x23 x20 的解集为xx 1 或 x2(3)不等式 2x23x10 等价于(2x1)( x1)0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为 .12|(4) 等价于 (x1)(x2)0，以下同(2) 的解法，可得不等式的解集021x为x x1 或 x2(5)不等式2 x13 等价于32x13，所以 22x4，即1x2，所以不等式2x 13 的解集为 x1x2(6)不等式 可以整理为,0x等价于 以下同(4)的解法，可得不等式的解集,021x .210x为x 1x 2 【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练

24、掌握其他不等式的解法适当掌握1利用不等式的性质可以解一元一次不等式2解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集第 14 页 共 513 页3、不等式 与(x a)(xb)0 同解；不等式 与(x a)(xb)0b 0b0 同解；4*、不等式f(x )c 与cf(x) c 同解；不等式 f(x)

25、c 与“f (x)c或 f(x)c” 同解在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“”号的处理例 4 解下列关于 x 的不等式；(1)ax32；(2)x 26ax 5a 20解：(1)由 ax32 得 ax1，当 a0 时，不等式解集为 ；当 a0 时，不等式解集为 ；|ax当 a0 时，不等式解集为 1|(2)x26ax5a 20 等价于不等式(xa)( x5a)0，当 a0 时，不等式解集为xx0；当 a0 时，不等式解集为xax5a；当 a0 时，不等式解集为x5axa【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性

26、时，需要进行分类讨论如(2)的解决过程中，当解出方程(x a)(x5a)0 的两根为 x1a，x 25a之后，需要画出二次函数 yx 26ax5a 2 的草图，这时两根 a 与 5a 的大小不定，需要讨论，当分 a0，a0，a0 三种情况之后，就可以在各自情况下确定 a 与 5a 的大小，画出二次函数 yx 26ax5a 2 的草图写出解集了例 5 已知 ab0，c d0，m0求证： dbmc证明：方法一(作差比较) ,)()( dbcadbcadbmca 第 15 页 共 513 页由已知 ba0，c d 0，又 m0，所以 m(ba)(cd)0，因为 ab0，c d0，所以 ac 0，bd

27、0 ，所以 ，所以)(m dbca,方法二因为 cd0 ，所以 cd 0，又 ab0，所以 ab0，所以 abcd，所以 ac bd0，所以 ，又因为 m0，所以dc1 m例 6 已知 abc 0， abc ，求证：(1)a0 ；(2) .2ac证明：(1)假设 a0，因为 abc ，所以 b0，c 0所以 abc 0，与 a bc 0 矛盾(2)因为 b ac ，ab，所以，所以 2ac ，又 a0，所以 ，所以a2.2c例 7 已知 a，b，c (0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a 中至少有一个不大于 .41证明：假设(1a) b，(1b) c，(1c)a 均大于 ，41即

28、 ,1(,4(,1( ,2),2),2) accba因为 a，b，c (0，1)，所以 1a，1b，1c (0，1) ，所以 ，同理(1b)c 1，(1c )a1，)()1(所以(1 a) b(1b) c(1c)a3，即 00，矛盾第 16 页 共 513 页所以(1 a) b， (1b)c，(1c)a 中至少有一个不大于 41【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等证明不等式也是如此1、例 5 中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握2、例 5 中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题

29、的思路常常是分析法比如，例 5 中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证只需证明 m(bd)m(ac )(因为 bd0，ac0)，即只需证,dbcam明 bdac ，即只需证明 abc d，而由已知 ab0，c d 0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例 6(1)、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例 7)等等证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论例 8 根据图中图形及相应点

30、的个数找规律，第 8 个图形相应的点数为_【分析】第一个图有 1 行，每行有 12 个点；第二个图有 2 行，每行有 22 个点；第三个图有 3 行，每行有 32 个点；第八个图有 8 行，每行有 82 个点，所以共有 81080 个点答：80第 17 页 共 513 页练习 13一、选择题1若 则下列各式正确的是( )0ba(A)ab (B)ab (C)a2b 2 (D) 21ba2已知 a，b 为非零实数，且 ab，则下列命题成立的是( )(A)a2b 2 (B)a2bab 2 (C) (D)ba21b3已知 A xx a，Bxx1，且 AB ，则 a 的取值范围是( )(A)aa1 (B

31、)a0a1 (C)aa 1 (D)a0a14设集合 M1 ，2，3，4，5，6 ，S 1，S 2，S k 都是 M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的 Sia i，b i、S ja j，b j(ij，i，j1，2，3， ，k)都有 ，(minx，y ,min,nji a表示两个数 x，y 中的较小者 )，则 k 的最大值是( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)13二、填空题5已知数列a n的第一项 a11，且 ，请计算出这个数),321(1nan列的前几项，并据此归纳出这个数列的通项公式 an_6不等式 x25x 60 的解集为_7设集合 A xRx4，BxRx 24x 30 ，

32、则集合xRxA ，且 x AB _8设 aR 且 a0，给出下面 4 个式子：a 31；a 22a2； ；a12其中恒大于 1 的是_(写出所有满足条件式子的序号)三、解答题第 18 页 共 513 页9解下列不等式：(1)2x2x0；(2) x23x 10；(3) ；(4)2x3；(5)02x.110已知 abc 0，求证： abbc ca011解下列关于 x 的不等式：(1)x22ax3a 20；(2) ax2x 0；习题 1一、选择题1命题“若 x 是正数，则 xx”的否命题是( )(A)若 x 是正数，则 xx (B)若 x 不是正数，则 xx(C)若 x 是负数，则 x x (D)若

33、 x 不是正数，则 xx2若集合 M、N、P 是全集 U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )第 19 页 共 513 页(A)(MN) P (B)(MN)P(C)(MN )( UP) (D)(MN )( UP)3 “ ”是“对任意的正数 ”的( )81a12,xa(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4已知集合 P1 ，4，9，16，25， ，若定义运算“1xy ;321xy(3) (4);)(3lg(0xy ;|y解：(1)由x110，得x11，所以 x11 或 x11，所以 x2 或 x0所以，所求函数的定义域为xx2 或 x0(2)由

34、x22x30 得，x1 或 x3所以，所求函数的定义域为xx1 或 x3(3)由 得 x3，且 x0，x1，,01,x所以，所求函数的定义域为x| x3，且 x0，x1(4)由 所以1x1，且 x0,4,2|1,02|1所以，所求函数定义域为x1x1，且 x0 例 5 已知函数 f(x)的定义域为 (0，1)，求函数 f(x1)及 f(x2)的定义域【分析】此题的题设条件中未给出函数 f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：定义域是指 x 的取值范围；受对应法则 f 制约的量的取值范围在“已知”和 “求”当中是一致的那么由 f(x)的定义域是(0，1) 可知

35、法则 f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x1)中，受 f 直接制约的是 x1，而定义域是指 x 的范围，因此通过解不等式 0x1 1 得1x 0，即 f(x1)的定义域是 (1，0)同理可得 f(x2)的定义域为 x1x1，且 x0例 6 如图，用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩第 28 页 共 513 页形的底边长为 2x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并指出定义域解：根据题意，AB2x 2,xlAD所以， .)2(12lxly 根据问题的实际意义AD0，x0解 .20,2,0lxxl所以，所求函数定义域为 0|lx【评析】求函数定义域问

36、题一般有以下三种类型问题(1)给出函数解析式求定义域(如例 4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：分式中分母不为零；偶次方根下被开方数非负；零次幂的底数要求不为零；对数中的真数大于零，底数大于零且不等于 1；ytan x，则 ，kZ2(2)不给出 f(x)的解析式而求定义域(如例 5)其解决办法见例 5 的分析(3)在实际问题中求函数的定义域(如例 6)在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的比

37、如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域例 7 (1)已知 ，求 f(x)的解析式；21)(xf第 29 页 共 513 页(2)已知 ，求 f(3)的值；21)(xxf(3)如果 f(x)为二次函数，f(0)2，并且当 x1 时， f(x)取得最小值1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数 yf(x)与函数 yg(x )2 x 的图象关于直线 x1 对称，求 f(x)的解析式【分析】(1)求函数 f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题方法一 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确1)(1)(2xxf看到法则

38、 f 是“原象对应于原象除以原象的平方减 1”所以， 1)(2xf方法二设 ，则 则 ，所以tx1t11)(2ttf )(2f这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么(2)用“凑型” 的方法， .7)3(,2)(.2)1()1(2 fxfxxf (3)因为 f(x)为二次函数，并且当 x1 时，f(x) 取得最小值1，所以，可设 f(x)a(x1) 21，又 f(0)2，所以 a(01) 212，所以 a3f(x)3( x1) 213x 26 x2(4)这个问题相当于已知 f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数 f(x)的解析式所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求 f(x)的解

39、析式设 f(x)的图象上任意一点坐标为 P(x，y)，则 P 关于 x1 对称点的坐标为Q(2x ，y) ，由已知，点 Q 在函数 yg(x )的图象上，所以，点 Q 的坐标(2x ，y )满足 yg(x )的解析式，即 yg(2x)2 2x ，所以，f( x)2 2x 第 30 页 共 513 页【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法值得注意的是(4)中所用的解析法在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的

40、联系例 8 已知二次函数 f(x)的对称轴为 x1，且图象在 y 轴上的截距为3，被 x 轴截得的线段长为 4，求 f(x)的解析式解：解法一设 f(x)ax 2bxc ，由 f(x)的对称轴为 x1，可得 b2a；由图象在 y 轴上的截距为3，可得 c3；由图象被 x 轴截得的线段长为 4，可得 x1，x3 均为方程ax2bxc 0 的根所以 f(1) 0，即 ab c0，所以 a1f(x)x 22x3解法二因为图象被 x 轴截得的线段长为 4，可得 x1， x3 均为方程 f(x)0 的根所以，设 f(x)a(x1)( x 3)，又 f(x)图象在 y 轴上的截距为3，即函数图象过(0，3)点即3a3，a1所以 f(x)x 22x3【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重二次函数的解析式有三种形式：一般式 yax 2bxc；顶点式 ya(x h) 2k，其中(h，k) 为顶点坐标；双根式 ya(x x 1)(xx 2)，其中 x1，x 2 为函数图象与 x 轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根