1、第三章 离散系统的时域分析,本章主要内容：,LTI离散系统的响应单位序列响应和单位阶跃响应卷积和,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,一阶前向差分f(k) = f(k+1) f(k) 一阶后向差分f(k) = f(k) f(k 1) 差分运算的线性性质,第三章 离散系统的时域分析,和为 差分算子,af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k),3.1 LTI离散系统的响应,二阶（后向）差分：2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1)= f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(
2、k) 2 f(k-1) +f(k-2),类似可定义高阶差分,差分方程的数值解 已知初始条件和激励，可用迭代法求得差分方程的数值解。,3.1 LTI离散系统的响应,差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),3.1 LTI离散系统的响应,例：若描述某系统的差分方程为y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2k(k)，求y(k)。 解：将y(k)以外的各项移至等号右端，有：y(k)
3、= 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k)对于k=2，将初始值y(0)=0、y(1)=2代入得：y(2) = 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2依此类推，得：y(3) = 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 y(4) = 3y(3) 2y(2) + f(4) = 10,一般不易得到解析形式的(闭合)解。,3.1 LTI离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),经典解形式与微分方程的经典解类似：,齐次解是齐次差分方程的解，取决于特征根。,特解与激励函数的形式有关。,全解是齐次解
4、与特解之和。,3.1 LTI离散系统的响应,差分方程的齐次解,齐次方程： y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 特征方程： 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 即： n + an-1n 1 + + a0 = 0 特征根：特征方程的解i( i = 1，2，n)。不同特征根所对应的齐次解见表3-1。,3.1 LTI离散系统的响应,差分方程的特解,激励f(k)=km (m0） 所有特征根均不等于1： yp(k) = Pmkm+P1k+P0 有r重等于1的特征根： yp(k) = krPmkm+P1k+P0 激励f(k)=ak 当a不等于特征根： yp(k)
5、 = Pak 当a是特征单根： yp(k) = Pkak 当a是r重特征根： yp(k) = Pkrak 激励f(k)=cos(k)或sin(k) 所有特征根均不等于ej： yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k),3.1 LTI离散系统的响应,例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,齐次差分方程：y(k) + 4y(k-1) + 4y(k-2) = 0 其特征方程为：2 + 4+ 4 = 0 其特征根为： 1= 2= 2 齐次解为： yh(k) = (C1
6、k + C0) (-2)k（由表3-1）,解：求齐次解,3.1 LTI离散系统的响应,求特解,由表3-2可知，当f(t) = 2k时，其特解可设为：yp(k) = P(2)k 将其代入差分方程得：P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2 = 2k 解得 P=1/4 ，于是特解为： yp(k) = 2k2 k0,求全解,全解： y(k) = yh(k) + yp(k) = (C1k + C0) (-2)k + 2k2 代入初始条件：,y(0) = C0 + 22 = 0 y(1) = (C1 + C0) (-2) + 21 = -1,解得 C0 = -1/4 ，C1 = 1 最后得全解： y
7、(k) = (k 1/4) (-2)k + 2k2， k0,3.1 LTI离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,零输入响应：,初始值的确定,零状态响应：,初始状态,再利用迭代法递推求得零输入响应和零状态响应初始值yzi(0)、 yzi(1) 和 yzs(0)、 yzs(1),3.1 LTI离散系统的响应,例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应。,解：（1）零输入响应yzi(k) yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3y
8、zi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 其初始状态为：,首先递推求出初始值yzi(0)、yzi(1) 。,3.1 LTI离散系统的响应,yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2)令k=0、1，并将初始状态yzi(-1)、yzi(-2)代入，得,特征方程为：2 + 3+ 2 = 0 ，所以1= 1 ，2= 2 齐次解为： yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 将初始值代入：,零输入响应为： yzi(k)= ( 1)k 2(2)k k0,3.1 LTI离散系统的响应,yzs(k)满足：,（2）零状态响应yzs(k),首先递推求出初始值yzs(0)、yzs(1) 。,y
9、zs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k,令k=0、1，并将初始状态yzs(-1)、yzs(-2)代入，得,接下来求解非齐次差分方程 。,3.1 LTI离散系统的响应,齐次方程的特征根1= 1 ，2= 2， 则齐次解为： yh(k)=Czs1( 1)k+Czs2(2)k 特解为： yp(k) = P2k ，代入方程有P = 1/3 全解为：yzs(k) = Czs1( 1)k+Czs2(2)k + (1/3)2k 代入初始值：,零状态响应：yzs(k) = (-1/3)(1)k+ (2)k + (1/3)2k k0,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,一、单位序列和单位
10、阶跃序列,第三章 离散系统的时域分析,单位序列,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,单位阶跃序列,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,二、单位序列响应和单位阶跃响应,单位序列响应,由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位取样响应，简称单位响应，记为h(k)。,单位阶跃响应,由单位阶跃序列(k) 所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(k)。,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。,解：根据h(k)的定义，当f(k)=(k)，有yzs(k)=h(k)，则,首先
11、递推求初始值h(0)、h(1),h(k) = h(k-1) + 2h(k-2) +(k),有：,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,再求单位序列响应h(k),对于k0，h(k)满足齐次差分方程,其特征方程为： 2 - - 2 = 0 特征根1 = -1 2 = 2,齐次解的一般形式为： h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0,代入初始值，有,单位序列响应： h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k ， k0,复 习,差分运算与差分方程 差分方程的经典解 离散系统的零输入响应和零状态响应求解 单位序列、单位阶跃序列 单位序列响应和单位阶跃响应,3.2 单位序列
12、响应和单位阶跃响应,例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位阶跃响应g(k)。,解：根据g(k)的定义，当f(k)= (k)，有yzs(k)=g(k)，则,首先递推求初始值g(0)、g(1),g(k) = g(k-1) + 2g(k-2) + (k),有：,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,再求单位阶跃响应g(k),对于k0，g(k)满足差分方程,其特征方程为： 2 - - 2 = 0 特征根1 = -1 2 = 2,齐次解的一般形式为： gh(k) = C1( 1)k + C2(2)k ，,特解一般形式：gp(k)=P,代入原方程，解得P=-
13、1/2,得全解：g(k)= C1( 1)k + C2(2)k -1/2 k0,3.2 单位序列响应和单位阶跃响应,代入初始值g(0)=1,g(1)=2，有,单位阶跃响应：,全解：g(k)= C1( 1)k + C2(2)k -1/2 k0,g(k) = (1/6)( 1)k + (4/3)(2)k -1/2 ， k0,3.3 卷积和,第三章 离散系统的时域分析,一、卷积和,1 .序列的时域分解,任意离散序列f(k) 可表示为,f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + ,3.3 卷积和,2 .任意序列作用下的
14、零状态响应,h(k)的定义：,时不变性：,齐次性：,叠加性：,3.3 卷积和,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为,f(k)= f1(k)*f2(k),注 意：i为求和变量，结果为k的函数。,即：,3.3 卷积和,例：f1 (k) = a k(k), f2(k) = b k(k) ，求卷积。,解： f(k) = f1(k) * f2(k),i0,ik,3.3 卷积和,二、卷积的图解法,换 元： k换为i得 f1(i)， f2(i)反转平移：f2(i)反转 f2(i)，平移k f2(k-i) 乘
15、积： f1(i) f2(k-i),卷积的图解过程,注 意：k为参变量。,求 和： i 从 到对乘积项求和,例：已知两序列f1(k)和f2(k)，求它们的卷积和。,3.3 卷积和,f(0)=0,f(1)=1/2,f(2)=3/2,f(5)=3/2,反 转,移 位,0,1,2,i,1,f2(i),-1,0,1,2,3,4,5,f(k),k,1/2,3/2,3,5/2,3/2,3.3 卷积和,卷积和的结果：,3.3 卷积和,例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移
16、2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),3.3 卷积和,三、不进位乘法求卷积,f(k)= 所有两序列序号之和为 k 的样本乘积之和。,例 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0,=+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2)+ + f1(i) f2(k i) + ,例如：k=2时 f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1
17、(2)f2(0) + ,3.3 卷积和,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ， f2(1),f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ ,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0),f1(1) f2(0),排成乘法,f(k)= 0， f1(1)f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 ,k=1,3.
18、3 卷积和,例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0k=1f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0k=0,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解:,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)* f2(k),f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30k=1,注 ：教材上还提出一种列表法，本质是一样的。,k=1,3.3 卷积和,四、卷积和的性质,1.满足乘法的三律,交换律：f1(k)* f2(k) =f2(k)* f1(k) 分配律：f1(k)* f2(k)+ f3(k) =
19、f1(k)* f2(k)+ f1(k)* f3(k) 结合律：f1(k)* f2(k)* f3(k) =f1(k)* f2(k) * f3(k),2.普通函数与单位序列的卷积,f(k)*(k) = f(k) f(k)*(k k0) = f(k k0),3.3 卷积和,3.时移性质,f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k2)* f2(k k1) = f(k k1 k2),4.差分性质,f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),5.与单位阶跃序列的卷积,f(k)*(k) =,(k) *(k) =,(k+1) (k),3.3 卷积和,例1
20、如图复合系统由三个子系统组成，其中 h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。,解： 根据单位序列响应的定义，当激励f(k)= (k)时， 复合系统的零状态响应为h(k)，即yzs(k)=h(k)。,yzs1(k)=(k)* h1(k),yzs2(k)=(k)* h2(k),h(k)= yzs (k) =(yzs1(k) yzs2(k)*h1(k),=h1(k) h2(k)*h1(k),= h1(k),= h2(k),=(k) (k 5)* (k),=(k) * (k) (k 5)* (k),= (k+1)(k) (k 4)(k 5),3.3
21、卷积和,例2 如图复合系统由两个子系统级联组成，其中 h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = ak(k)，激励f(k)= (k)a(k-1)，求复合系统的零状态响应yzs (k) 。,解:,yzs (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = h1(k) * h2(k) * f(k) = 2cos(k)*ak(k)*(k) a(k-1)= 2cos(k)*ak(k) - ak(k -1)= 2cos(k)* ak(k)= 2cos(k) * (k)= 2cos(k),第三章 离散系统的时域分析,小 结,零输入响应、零状态响应、全响应计算单位序列响应和单位阶跃响应计算卷积运算（公式法、图解法、不进位乘法）卷积性质的运用,
