1、8.1 数字电路概述 8.2 逻辑代数的基本运算 8.3 逻辑函数的表示方法及变换 8.4 逻辑代数的公式和运算规则 8.5 逻辑函数的化简 本章小结 习题,第8章 数字电路基础知识,8.1.1 数字电路的特点 数字信号通常只有高电平和低电平两种状态。,8.1 数字电路概述,8.1.2 数制及码制 1. 数制 1) 十进制 一个任意的十进制数可以展开为 若以N取代式(8.1.1)中的10，便可得到任意进制(N进制)的十进制的展开式，即 (8.1.2),(8.1.1),2) 二进制 在数字电路中，往往采用数码“1”和“0”来表示两种不同的状态。二进制的每一位由0和1两个数构成，低位向高位的进位原
2、则为逢二进一。根据式(8.1.2)，任何一个二进制可以按十进制展开为,(8.1.3),3) 八进制 八进制的每一位由07这八个数构成，低位向高位的进位原则为逢八进一。根据式(8.1.2)，任何一个八进制数可以按十进制展开为 (8.1.4),4) 十六进制 十六进制的每一位都有十六个不同的数码，分别为09和A、B、C、D、E、F，低位向高位的进位原则为逢十六进一。根据式(8.1.2)，任何一个十六进制数可以按十进制展开为 (8.1.5),2. 不同进制之间的相互转换 1) 任意进制(N进制)转换为十进制 转换时，只要将N进制数按式(8.1.2)展开，然后各项数值按十进制相加，就可得到等值的十进制
3、数了。例如： (1001.0101)2=123+022+021+120+021 +122+023+124 =(9.3125)10 (13.5)8=181+380+581=(11.625)10 (1B.C)16=1161+11160+12161=(27.75)10,2) 十进制转换为二进制 十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，因此先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。 (1) 整数部分：十进制整数转换为二进制整数采用“除2取余，逆序排列”法。 【例8.1.1】 (23)10=(10111)2,(2) 小数部分： 十进制小数转换成二进制小数采用“乘2取整，顺序
4、排列”法。,【例8.1.2】 (0.375)10=(0.011)2 【例8.1.3】 (23.375)10=(10111.011)2,3) 二进制和十六进制之间的相互转换 (1) 二进制转换为十六进制： 如果把四位二进制看成一个整体的话，它的状态共有16个，它的进位输出正好为逢十六进一，正好为十六进制。 【例8.1.4】 (111011.10101)2=(3B.A8)16,(2) 十六进制转换为二进制: 转换时只需要将十六进制的每一位用等值的四位二进制数代替就可以了。 【例8.1.5】 (8FA.C6)2=(100011111010.11000110)16 表8.1.1所示为十进制数015与等
5、值的二进制、八进制、十六进制的对照表。,表8.1.1 不同进制的对照表,3. 码制 1) 8421码 表8.1.2所示为十进制09与8421码的对照表。,表8.1.2 8421码的对照表,2) 格雷码 表8.1.3所示为十进制015的二进制代码和格雷码的对照表。,表8.1.3 4位格雷码与二进制代码的对照表,8.2.1 逻辑函数和逻辑变量 所谓的逻辑，指的是事物间的因果关系。,8.2 逻辑代数的基本运算,8.2.2 逻辑代数的三种基本运算 逻辑代数的基本运算有与(AND)运算、或(OR)运算、非(NOT)运算三种。 1. 与运算 只有决定事物结果的全部条件均具备时，结果才会发生，这种逻辑关系称
6、为逻辑与，或者称为逻辑乘。在如图8.2.1所示的电路中，只有当开关A、B全部闭合的时候，或者说使得全部条件具备时，灯Y才会亮，事件发生。,图8.2.1 用于说明与逻辑的电路,如果我们用“0”表示开关断开，“1”表示开关闭合，灯亮用“1”表示，灯不亮用“0”表示，则可以得到表8.2.1，这种表称为逻辑真值表，简称真值表。 A和B进行与逻辑运算可以写成： Y=AB 或 Y=AB (8.2.1) 与逻辑的图形符号如图8.2.2所示。,图8.2.2 与逻辑的图形符号,表8.2.1 与逻辑的真值表,2. 或运算 在如图8.2.3所示的电路中，只要当开关A、B中有一个闭合，或者两者均闭合的时候，或者说使任
7、一条件具备时，灯Y就会亮，事件发生。同样，我们用“0”表示开关断开，“1”表示开关闭合，灯亮用“1”表示，灯不亮用“0”表示，则可以得到表8.2.2所示的真值表。 A和B进行或逻辑运算可以写成： Y=A+B (8.2.2) 或逻辑的图形符号如图8.2.4所示。,表8.2.2 或逻辑的真值表,图8.2.3 用于说明或逻辑的电路,图8.2.4 或逻辑的图形符号,3. 非运算 当决定事物结果的条件满足时，结果不发生；反之结果发生，这种因果关系称为逻辑非，也称逻辑求反。在如图8.2.5所示的电路中，只要当开关A闭合的时候，灯Y不会亮；当开关A断开的时候，灯Y会亮。 A非逻辑运算可以写成： (8.2.3
8、) 同样，我们用“0”表示开关断开，“1”表示开关闭合，灯亮用“1”表示，灯不亮用“0”表示，则可以得到表8.2.3所示的真值表。非逻辑的图形符号如图8.2.6所示。,图8.2.5 用于说明非逻辑的电路,表8.2.3 非逻辑的真值表,图8.2.6 非逻辑的图形符号,与、或、非逻辑运算也可以用图形符号表示，图8.2.7给出了被IEEE认定的两套与、或、非的图形符号。,图8.2.7 与、或、非的图形符号 (a) 特定外形符号； (b) 矩形轮廓符号,8.2.3 几种常用的复合逻辑函数 1. 与非运算 将A、B先进行与运算，然后将结果求反，即为A、B与非运算的结果。因此可以把与非运算看成是与运算和非
9、运算的组合。与非运算的真值表如表8.2.4所示，图形符号如图 8.2.8所示。 与非的逻辑表达式为 (8.2.4),表8.2.4 与非运算的真值表,图8.2.8 与非运算的图形符号,2.或非运算 将A、B先进行或运算，然后将结果求反，即为A、B或非运算的结果。或非运算的真值表如表8.2.5所示，图形符号如图8.2.9所示。 或非的逻辑表达式为 (8.2.5),表8.2.5 或非运算的真值表,图8.2.9 或非运算的图形符号,3. 与或非运算 在与或非运算中，将A、B之间以及C、D之间分别进行与运算，然后再将结果进行或非运算，结果即为与或非运算。其表达式为 (8.2.6) 与或非运算的图形符号如
10、图8.2.10所示。,图8.2.10 与或非运算的图形符号,4. 异或和同或运算 1) 异或运算 有这样一种逻辑关系，当A、B不同时输出Y为1，当A、B相同时输出Y为0，这种逻辑关系称为异或运算。异或运算也可以用与、或、非的组合表示，其逻辑表达式为 (8.2.7) 异或运算的真值表如表8.2.6所示，图形符号如图8.2.11所示。,表8.2.6 异或运算的真值表,图8.2.11 异或运算的图形符号,2) 同或运算 同或和异或相反，当A、B不同时，输出Y为0；当A、B相同时，输出Y为1。因此同或和异或互为反运算，也可以用与、或、非的组合表示，其逻辑表达式为 (8.2.8) 同或运算的真值表如表8
11、.2.7所示，图形符号如图8.2.12所示。,表8.2.7 同或运算的真值表,图8.2.12 同或运算的图形符号,8.3.1 逻辑函数的表示方法 1. 真值表(逻辑状态表) 该逻辑关系的真值表，如表8.3.1所示。,8.3 逻辑函数的表示方法及变换,表8.3.1 表决器的真值表,2. 逻辑函数表达式 逻辑函数表达式可简称为逻辑函数式或逻辑式。把输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式， 就得到了逻辑函数表达式。 以三人表决器为例，只有当两个或两个以上的人同意，决议才能通过，因此得到输出的逻辑函数表达式为 Y=AB+AC+BC (8.3.1),3. 逻辑电路图 按照逻辑函数表达式将对
12、应的逻辑关系用图形符号连接起来就是逻辑电路图。如式(8.3.1)所对应的逻辑电路图如图8.3.1所示。,图8.3.1 式(8.3.1)对应的逻辑电路图,4. 波形图 例如式(8.3.1)的逻辑函数式如果用波形图来描述，则只需要将式(8.3.1)给出的输入变量与对应的输出变量的取值按照时间顺序排列起来，就可以得到所需要的波形图(如图8.3.2所示)。,图8.3.2 三人表决器的波形图,5. 各种方法之间的相互转换 1) 由真值表写出逻辑函数式 【例8.3.1】 将表8.3.2所示的真值表转换为逻辑函数式。,表8.3.2 例8.3.1所对应的真值表,解： (1) 找出使得输出为1的那些取值，即AB
13、C分别为011、101、110、111这四个。 (2) 每个组合对应一个乘积项，011、101、110、111分别对应 、 、 、ABC这几个乘积项。 (3) 将这几个乘积项相加，即得到逻辑函数式： 2) 由逻辑函数式列出真值表 将给定的逻辑函数式转换为真值表时，只需将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑函数式, 求出函数值，列成表，就可以得到真值表。,【例8.3.2】 已知逻辑函数式 ，求其所对应的真值表。 解：将A、B、C的全部取值组合逐一代入Y式中计算，将计算结果列表，即可得到如表8.3.3所示的真值表。,表8.3.3 例8.3.2所对应的真值表,3) 由逻辑函数式画出逻辑电路图 【例
14、8.3.3】 已知逻辑函数式 ，画出对应的逻辑电路图。 解： 将逻辑函数式中的与、或、非运算符号用图形符号代替，依据优先顺序将它们连接起来，就得到了如图8.3.3所示的逻辑电路图。,图8.3.3 例8.3.3逻辑函数式所对应的逻辑电路图,4) 由逻辑电路图写出逻辑函数式 将给定的逻辑电路图转换为相应的逻辑函数式时，只要从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑函数式，即可得到对应的逻辑函数式。 【例8.3.4】 已知逻辑电路图如图8.3.4所示，试求它的逻辑函数式。 解：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑函数式，即,图8.3.4 例8.3.4的电路图,8.3.2 逻辑函数的最小
15、项 1. 定义 三变量最小项的编号表，如表8.3.4所示。,表8.3.4 最小项和其对应的编号,2. 最小项的性质 3. 逻辑函数最小项之和的形式 利用 ，我们可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。 【例8.3.5】 将给定逻辑函数 写成最小项之和的形式。 解：,【例8.3.6】 将给定逻辑函数 写成最小项之和的形式。 解：,8.3.3 逻辑函数的变换 1. 与或形式 与或形式是指在逻辑函数中只包含与逻辑和或逻辑这两种逻辑运算，运算时先进行与运算，再进行或运算。 2. 与非与非形式 与非与非形式是指在逻辑函数中只包含与非的逻辑运算，这是逻辑函数的常见形式之一。,【例8.3.7】 将
16、写成与非与非形式。 解：,3. 与或非形式 与或非形式是指逻辑函数是由与、或、非的运算构成的。 因为 所以 为不包含在Y中的那些最小项之和。,【例8.3.8】 将 写成与或非的形式。 解： 因为 所以,8.4.1 逻辑函数的相等 【例8.4.1】 证明等式： 解： 列写 、 的真值表如表8.4.1所示。,8.4 逻辑代数的公式和运算规则,表8.4.1 例8.4.1对应的真值表,8.4.2 逻辑代数的基本公式 表8.4.2给出了逻辑代数的基本公式，也称为布尔恒等式。,表8.4.2 逻辑代数的基本公式,8.4.3 逻辑代数的基本定理 1. 代入定理 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式
17、代入式中A的位置，则等式依然成立。这就是代入定理。 【例8.4.2】 用代入定理证明反演律 适应于多变量的情况。 证明： 用(B+C)代替等式中所有B的位置，可得： 即,2. 反演定理 【例8.4.3】 已知 ，求 。 解：根据反演定理可以直接写出： 3. 对偶定理 对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y，这个Y就叫做Y的对偶函数。或者说Y和Y互为对偶式。,8.4.4 逻辑代数的常用公式 利用基本公式可以导出如表8.4.3所示的几个常用公式。直接运用这些公式可以使得逻辑函数的化简工作方便很多。,表8.4.3 逻辑代数的常用公式
18、,8.5.1 逻辑函数化简的目的 我们将式中乘积项最少以及乘积项中所含变量最少的与或形式称为最简的与或形式。化简的目的就是通过各种方法使得函数表达式最简。对最简与或式的定义对其他形式的逻辑函数式也是适用的。,8.5 逻辑函数的化简,8.5.2 公式化简法 反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子，最后得到最简形式的方法称为公式化简法。 【例8.5.1】 化简函数 解：,【例8.5.2】 化简函数 解：方法一：,方法二：,8.5.3 卡诺图化简法 1. 逻辑函数的卡诺图表示 将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来，以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩
19、阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的 (只有一个变量不同)，就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。图8.5.1(a)、(b)、(c)所示分别为二变量、三变量、四变量的最小项的卡诺图。,图8.5.1 二到四变量最小项的卡诺图 (a) 二变量(A、B)的最小项的卡诺图； (b) 三变量(A、B、C)的最小项的卡诺图； (c) 四变量(A、B、C、D)的最小项的卡诺图,【例8.5.3】 用卡诺图表示逻辑函数 解： 先将逻辑函数化为最小项之和的形式，即 画出四变量最小项的卡诺图，在对应函数式中各最小项的位置上填入1，其余位置上填入0，即可得到如图8.5.2所示的卡诺图。,图8.5.2 例
20、8.5.3的卡诺图,2. 用卡诺图化简逻辑函数 1) 卡诺图的特点 如图8.5.3所示，图(a)、(b)是合并两个最小项，图(c)是 合并四个最小项，图(d)是合并八个最小项。 2) 卡诺图化简的步骤,图8.5.3 最小项的合并,【例8.5.4】 用卡诺图化简函数 解：由已知画出卡诺图如图8.5.4所示。 所以 Y=AB+AC+BC,图8.5.4 例8.5.4的卡诺图,【例8.5.5】 化简函数 解： 画出函数的卡诺图如图8.5.5所示。 根据最小项的合并原则，可以得出,图8.5.5 例8.5.5的卡诺图,8.5.4 具有无关项的逻辑函数的化简 1. 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 1)
21、 约束项 2) 任意项,2. 无关项在化简逻辑函数中的应用 【例8.5.6】 化简逻辑函数 其约束项为 解：画出卡诺图如图8.5.6所示。 根据合并最小项的方法，可得：,图8.5.6 例8.5.6的卡诺图,1. 数制和码制 多位数码每一位的组成方式以及由低位向高位的进位规则称为数制。常用的包括十进制、二进制、八进制、十六进制。各种进制之间可以相互转换。 用数码表示不同事物的时候，称之为代码，此时这些数码没有数量大小的意义，常用的有十进制代码、格雷码等几种通用的代码。,本章小结,2. 逻辑代数的基本知识 二进制可以用来表示逻辑关系，逻辑代数的逻辑运算有与、或、非三种，除此之外还有与非、或非、与或
22、非、异或、同或等常用的逻辑运算。 进行逻辑代数的运算时，必须熟练掌握表8.4.2和表8.4.3所示的基本公式和常用公式。 除此之外，还必须掌握三个定理：代入定理、反演定理、对偶定理。代入定理将基本和常用公式扩展为多变量的情况；反演定理可以求逻辑代数的反函数；对偶定理可以使公式扩展一倍。,3. 逻辑函数的基本概念、表示方法和化简 逻辑函数的表示方法有真值表、逻辑函数式、逻辑电路图、波形图和卡诺图。这几种表示方法可以相互转换，根据不同的需要选择表示方法。 逻辑函数的化简是本章的重点，共介绍了两种方法，公式化简法和卡诺图法。公式化简法不受任何条件的限制，但是没有固定的步骤可以遵循，因此需要对公式熟练
23、掌握和灵活运用，有时还需要一定的技巧和经验；卡诺图法简单、直观，有固定步骤可以遵循，易于掌握，但是变量数目大于五个的时候就失去了简单、直观的优点，因此只能用于五变量以下的逻辑函数，应用受到限制。,学习本章后应达到下列要求： (1) 理解逻辑代数的基本概念，掌握逻辑代数基本的三种运算和常用的复合逻辑运算。 (2) 掌握逻辑函数的表示方法及其相互间的转换、基本定理，逻辑函数式的表达形式、基本公式和常用公式。 (3) 能够运用公式化简法和卡诺图法对逻辑函数进行化简，从而得到最简逻辑函数式。,8.1 将下列二进制数转化为等值的十六进制数和等值的十进制数： (1) (10010111)2； (2) (1
24、101101)2； (3) (0.01011111)2； (4) (11.001)2。,习 题,8.2 将下列十六进制数转化为等值的二进制数和等值的十进制数： (1) (8C)16； (2) (3D.BE)16； (3) (8F.FF)16； (4) (10.00)16。 8.3 将下列十进制数转化成等值的二进制数和等值的十进制数。要求二进制数保留小数点以后4位有效数字。 (1) (17)10； (2) (127)10； (3) (0.39)10; (4) (25.7)10。,8.4 试总结并说出： (1) 由真值表写逻辑函数式的方法； (2) 由逻辑函数式列真值表的方法； (3) 由逻辑电路
25、图写逻辑函数式的方法； (4) 由逻辑函数式画逻辑电路图的方法。,8.5 已知逻辑函数的真值表如表T8.1(a)、(b)所示, 试写出对应的逻辑函数式。,表T8.1(a),表T8.1(b),8.6 试用列真值表的方法证明下列异或运算公式： (1) (2) (3) (4) ,8.7 已知函数的逻辑电路图如图T8.1所示，试写出逻辑函数式：,图T8.1,8.8 求下列函数的反函数: (1) Y=AB+C (2) (3) (4) (5),8.9 试将下列逻辑函数展开为最小项之和的标准形式： (1) (2) (3) Y=A+B+CD,8.10 用逻辑代数的基本公式和常用公式将下列逻辑函数化为最简与或形
26、式： (1) (2) (3),8.11 用卡诺图化简法将下列函数化为最简与或形式： (1) Y(A，B，C)=(m0，m1，m2，m5，m6，m7)； (2) Y(A，B，C)=(m1，m3，m5，m7)； (3) Y(A，B，C，D)=(m0，m1，m2，m4，m6，m8，m9，m10，m11，m14)。 8.12 什么叫约束项？ 什么叫任意项？ 什么叫逻辑函数式中的无关项？,8.13 化简下列逻辑函数(方法不限)： (1) (2) (3) (4) (5) (6),8.14 将下列函数化为最简与或函数式： (1) (2) (3) (4) (5),8.15 将下列逻辑函数化为最简与或函数式： (1) Y(A，B，C)=m(1，3，4，7)； (2) Y(A，B，C，D)=m(0，1，2，3，4，7，15) +d(8，9，10，11，12，13)； (3) ，给定约束条件为AB+CD=0； (4) Y(A，B，C，D)=m(2，3，7，8，11，14) +d(0，5，10，15)； (5) Y(A，B，C，D)=m(3，5，6，7，10)+d(0，1，2，4，8)。,8.16 写出图T8.2中各逻辑电路图的逻辑函数式，并化简为最简与或式。,图T8.2,
