1、2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,1,医用高等数学,主 讲 人：曹灿 单 位：吉首大学数学与统计学院 讲授时间：2018年10月15日 授课班级: 2012级临床医学3，4班 联系电话：13974313605 Q Q ：123354906,第三讲 极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,2,本节课主要内容（第二章）,一 、数列的极限 二、 函数的极限 三、无穷大量与无穷小量,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,3,一、 数列的极限,1.1、 数列极限的定义 1.2、 数列极限的性质,2018年10月15日2时36分,吉首大学
2、数学与统计学院,4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,概念的引入,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,5,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,6,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,7,1.1 数列极限的定义,例如,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,8,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,2018
3、年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,9,播放,1.2 数列的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,10,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,11,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,12,定义,如果对于任意给定的正数,e,(,不论它多么,小,),总存在正数,N,使得对于,时的一切,不等式,都成立,那末就称常数,a,是数列,的极限,或者称数列,收敛于,a,记
4、为,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,13,几何解释:,其中,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,14,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,15,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,16,例3,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,17,例4,证,
5、2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,18,1.2 数列极限的性质,1、有界性,例如,有界,无界,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,19,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,20,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,21,例5,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,2018年10月15日2时36分,
6、吉首大学数学与统计学院,22,3、子数列的收敛性,注意：,例如，,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,23,定理3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,24,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,25,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,26,思考题解答,（等价）,证明中所
7、采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,27,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,28,练 习 题,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,29,二、 函数的极限,2.1 x时函数的极限2.2 xx0时函数的极限2.3 函数极限的性质,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,30,播放,2.1 x时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,31,通过上面演示实验的观察:,问
8、题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,32,定义,1,如果对于任意给定的正数,e,(,不论它多么小,),总存在着正数,X,使得对于适合不等式,的一切,x,所对应的函数值,都满足不等式,那么常数,A,就叫函数,当,时的极限,记作,1、定义：,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,33,2、另两种情形:,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,34,3、几何解释:,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,35,例1,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,3
9、6,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,37,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,38,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,39,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,40,一、 x时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,41,一、 x时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,42,一、 x时函数的极限,2018年
10、10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,43,一、 x时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,44,2.2 xx0时函数的极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,45,1、定义：,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,46,2、几何解释:,注意：,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,47,例2,证,例3,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,48,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,49,例5,证,2018
11、年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,50,3.单侧极限:,例如,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,51,左极限,右极限,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,52,左右极限存在但不相等,例6,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,53,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,54,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,55,思考题,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,56,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存
12、在.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,57,一、填空题:,练 习 题,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,58,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,59,练习题答案,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,60,三、无穷大量与无穷小量,3.1 无穷大量3.2 无穷小量3.3 无穷小量的性质,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,61,3.1 无穷大量,定义,2,设,函数,在,某,一,去,心,邻域,内,有,定,义,（,或,大,于,某,一,正数,时,有,定义,）,如果对于任意给定的正数,M,
13、(,不,论它多么大,),总存在正数,d,(,或正数,X,),使得对于适合不,等式,(,或,X,),的一切,x,对应的函数值,总,满足不等式,M,x,f,),(,则称函数,当,(,或,),时为无穷大,记作,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,|x|,|x|,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,62,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,63,不是无穷大,无界，,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,
14、64,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,65,3.2 无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,66,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,67,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,68,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小
15、.,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,69,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,70,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,71,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,72,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,3、无穷大与无
16、穷小的关系,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,73,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,74,定理3 在某一极限过程中，如果(x),(x)是无穷小量,则(x) (x) 也是无穷小量。,推论 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和 也是无穷小量.,定理4 在某一极限过程中，若(x) 是无穷小量, f (x)是有界变量，则(x)f(x)是无穷小量.,3.3 无穷小量的性质,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,75,推论 在某一极限过程中，若C为常数, (x)和(x)是无穷小量
17、，则C(x), (x) (x)均为无穷小量.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,76,定理5 有某一极限过程中,如果(x)是无穷小量, f(x)以A为极限,且A0,则 仍为无穷小量.,证 由定理4可知, 只需证 为该极限过程中的有界变量即可, 仅对 时进行证明,其他情形类似可证.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,77,四、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,78,思考题,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,79,思考题解答,不能保证.,例,有,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,80,一、填空题:,练 习 题,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,81,练习题答案,2018年10月15日2时36分,吉首大学数学与统计学院,82,课后作业,习题1.2 P55 4题单数，5，6,
