1、设，为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且（）， 则称,为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率,定义,条件概率 Conditional Probability,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概率 P(A|B)的样本空间,乘法法则,推广,设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，且(i )0 ，i1，2，.，n，则对任一随机事件，有,全概率公式,设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸P（Ai）0) B为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有,( k =1 , 2 , , n),证明,贝叶斯公式 Bayes The
2、orem,事件的独立性与独立试验概型,解,一、事件的独立性引例,一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概率。,例,A=第一次摸到黑球，B=第二次摸到黑球,则,设、为任意两个随机事件，如果 （）（） 即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立,显然，对于独立，则对于也独立，故称与相互独立,事件的独立性 independence,定义,事件的独立性 判别,事件与事件独立的充分必要条件是,实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断,如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以 认为相互之间没有影
3、响，即可以认为相互独立,例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩， B=一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。,解 情形（1）的样本空间为,=（男男），（男女），（女男），（女女）,此种情形下，事件A、B是不独立的。,例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩， B=一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。,解 情形（2）的样本空间为,=（男男男），（男
4、男女），（男女男），（女男男）（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）,此种情形下，事件A、B是独立的。,直觉未必可信必须深入研究,定理 下列四组事件，有相同的独立性：,证明 若A、B独立，则,所以， 独立。,概念辨析,事件与事件独立,事件与事件互不相容,事件与事件为对立事件,例,甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。,解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”,则,例 P18-4 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，3%，5% ，假设
5、各道工序是互不影响的求加工出来的零件的次品率,解,设1 ，2 ，3 分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：1 ,2 ,3 相互独立，且,（1）2 % , （2）3% , （3）5%,又设表示加工出来的零件是次品, 则A123,用对立事件的概率关系得,1(1 0.02)(1 0.03)(1 0.05), 0.09693,好！,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.,设随机试验E只有两种可能的结果:A及 , 且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials)，记
6、作B（n,p）.,贝努利试验,Bernoulli trials,相互独立的试验,贝努利试验,例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个， 连取 4 次求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率,设 恰好有 2 次取到次品, 取到次品，,则 取到正品,分析,n = 4 的 Bernoulli 试验,i=第i次抽样抽到次品,因为1，2，3，4 相互独立，所以,四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有,贝努利定理,设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p1) ，则在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为,( k 0，1，2，.，n ),其中,定理,二项概率,例 有一批
7、棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,(1) 求恰有粒出苗的概率(0k4)；(2) 求至少有两粒出苗的概率,(1) 该试验为4 重贝努利试验,解,(2) 设表示至少有2粒出苗的事件,则,例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。,解 该试验为5重贝努利试验，且,所求概率为,n=5,p=0.7;q=0.3;k=3,例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。,解 设A表示“元件使用1000小时不坏”，则,设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则,例 一批种子的发芽
8、率为80%，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。,分析：“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽”,解 假设播n颗种子，则依题意可得,可解得,即,所以，每个穴中至少播种 3颗种子。,某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3号机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。,解 设Ai表示“第i台机床需要照看”，（i=1，2，3）,则 P（A1）=0.3； P（A2）=0.2； P（A3）=0.1；,练一练,1、A、B相互独立，,
9、则一定有 （ ）.,A. B. C. D.,2、甲乙两人独立破译密码，若他们各人译出的概率均为0.25，则这份密码能破译的概率为( ).,3、若A、B相互独立， 则 （ ）.,A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1,4、A、B为两个随机事件，若A，B之积为不可能事件，则称A. A与B 相容 B. A与B互不相容 C. A与B 互为独立 D. A与B为样本空间的一个划分,0,5、一项实验中失败的概率为p（0p1），则在3次重复实验中至少成功一次的概率为( ).,A. 3（1-p） B. C. D.,6、在一次考试中，某班学生数学及外语的及格率都是0.7，且这两门成绩相互独立，从该班任取一学生，该生的两门课中只有一门及格的概率为( ).0.42,7、若A与B独立，且 则 ( ).,8、某地成年人患A,B两种疾病的概率分别为0.015 和 0.08，设两种疾病的发生是相互独立的，则该地区任一成年人同时患这两种病的概率为（ ）. 0.0012,9、若A、B为随机事件，已知P（A）=x，P（B）=0.3， （1）若A、B不相容， 求x ； （2）若A、B相互独立，求x ；,
