1、,对 偶 理 论 (Duality Theory),对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（ LPlinear programming ）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个称为“对偶问题”，记为“D”。,例一、资源的合理利用问题已知资料如表所示，问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源有使总利润最大？,一、问 题 的 提 出,下面从另一个角度来讨论这个问题：,假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工费。
2、即将资源出租。试问该决策者应制定怎样的收费标准（合理的）？,分析问题：1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润；2、定价又不能太高，要使对方能够接受。,一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故,为最好。,该问题的数学模型为：,模型对比：,1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。,二、线性规划的对偶理论 （一）、对偶问题的形式,例一、写出线性规划问题的对偶问题,解：首先将原式变形,注意：以后不强调等式右段项 b0，原因在对偶单纯型表中只保证 而不保证 ，故 b可以是负数。,2、非对称型对偶问题,例二、原问题,2、混合型对偶问题,首先变形,其对偶问题为,令Y2=Y21-Y22,Y3=-
3、Y31,并综合后两个约束。,对偶问题,对偶问题的一般规则,例四、线性规划问题如下：,min Z= - CX s.t. - AX- bX 0,1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。,max W = -Yb s.t. -YA- CY 0,（二）、对偶问题的性质,2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有,推论.若 和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则 是（D）的目标函数最小值的一个下界； 是（P）的目标函数最大值的一个上界。,例,试估计它们目标函数的界。,（P）,解：,（D）,3、无界性. 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题有可行解，但目标函数无界，
4、则另一个问题不可行；反之不成立。,注意：反之不成立，即当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问题）或具有无界解或无可行解。,例：两者皆无可行解,4、最优性：若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b，则X*. Y*分别是问题 P和D 的最优解。,5、对偶性：若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。,推论:若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。,综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： .都有最优解，分别设为X* 和 Y*，则必有CX* =Y*b； . 一
5、个问题无界，则另一个问题无可行解； .两个都无可行解。,6、互补松弛定理：设X*和Y*分别是问题 P 和 D 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是,同时成立,由于变量都非负，要使求和等式等于零，则必定每一分量为零。所以：,一般而言，我们把某一可行点（如X*和Y* ）处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松约束，而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论：设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。,例、已知,试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。,解：对偶问题为,用图解法求出： Y*=（1 , 3）， W=
6、11。 将y*1=1， y*2=3 代入对偶约束条件， （1）（2）（5）式为紧约束，（3）（4）为松约束。 令原问题的最优解为X* = （x1,x2,x3,x4,x5），则根据互补松弛条件，必有x3 = x4 =0,(1 . 3),（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,又由于y*10， y*2 0，原问题的约束必为等式，即,化简为,此方程组为无穷多解,令x5 =0,得到x1=1，x2=2 即X*1 =（1,2,0,0,0）为原问题的 一个最优解，Z=11。再令 x5 =2/3，得到x1=5/3，x2=0 即X*2 （5/3,0,0,0,2/3） 也是原问题的一个最优解，Z=11。,例、已知
7、原问题的最优解为X* =（0，0，4），Z=12 试求对偶问题的最优解。,解：,（1）,（2）,（3）,将X* =（0 ， 0 ， 4）代入原问题中，有下式：,所以，根据互补松弛条件，必有y*1= y*2=0，代入对偶问题 （3）式， y3 =3。因此，对偶问题的最优解为Y*=（0 ， 0 ，3），W=12。,注意：以上几个性质对所有的线性规划问题都有效，并不一定要求是对称型的。,下面考虑对称型的对偶问题。引入松弛变量Xs假设可行基B是矩阵前m列，则有,考虑对偶问题，相应的对偶问题是： 显然，B还是一个基，令Y=CBB-1，显然，Y是一个基解，于是就有,对比原问题的检验数和对偶问题的基解：,性
8、质7：原问题的检验数的相反数对应对偶问题的一组基解,第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于对偶问题第j个松弛变量ysj的解，第i个松弛变量的检验数的相反数对应于第i个对偶变量yi的解。,注意：该性质是针对对称对偶问题而言的。,例,初 始 表,最终表,由上表可知：X*=（50/7 ， 200/7），Z=4100/7 对偶问题的最优解：Y*=（0 ， 32/7 ， 6/7），W=4100/7,三、对偶问题的经济解释影子价格,设：B是问题 P的最优基，由前式可知，Z*=CB B-1b = Y*b=y*1b1+ y*2b2+y*ibi+y*mbm 当bi 变为bi+1 时（其余右端项不变，也不影响B
9、），,目标函数最优值变为：Z*= y*1b1+ y*2b2+y*I （ bi+1 ）+y*mbm Z*= Z* Z* = y*i,也可以写成：即y*i 表示Z*对 bi的变化率。,由于Z*=CB B-1b = Y*b=y*1b1+ y*2b2+y*ibi+y*mbm 在资源利用的模型中，当第i种资源限额增加一个单位，最大总利润将增加yi*单位。因此，yi*可视为第i种资源在最优生产方案下的一种单位价值，通常称yi*为第i种资源的影子价格。定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时，所引起的目标函数最优值Z* 的改变量y*i 称为第 i 个约束条件的影子
10、价格，又称为边际价格。,其经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 个约束条件的影子价格。由于 影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数（但问题中所有其它数据都保持不变）。,影子价格不同于市场价格，它是针对具体企业具体产品在最优生产方案下的一种特定的价格，影子价格随经济结构的变化而变化，同一资源在不同的经济结构中有不同的影子价格。影子价格为零，意味着增加该种资源不会提高整个经济结构的最大利润，说明该资源对最优生产规划是长线资源，若影子价格为正数，则为短线资源。,求：1、最优生产方案 2、各资源的影子价格 3、若厂方想
11、增加一种新产品，每千克需耗煤5吨，电2百度，14个劳动日，问产品C单位利润多大才值得投产？,影子价格的用途,1、调节生产规模。影子价格大于零，购入资源扩大生产。 2、生产要素对产出贡献的分解。 3、与市场价格不同，同一资源在不同企业、生产不同产品或在不同的时期影子价格不一样。 4、是一个变量。最优基变化，影子价格也变化。,对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。,由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。,四、对 偶 单 纯 形 法,也就
12、是说，求解原问题（P）时，可以从（P）的一个基本解（非基可行解）开始，逐步迭代，使目标函数值（Z=Y b= CB B-1b =CX）减少，当迭代到 XB=B-1b0时，即找到了（P）的最优解，这就是对偶单纯形法。,同原始单纯形求法一样，求解对偶问题（D），也可以从（D）的一个基本可行解开始，从一个基本可行解（迭代）到另一个基本可行解，使目标函数值减少。不过，对对偶问题而言，若要保证对偶问题是基可行解，即为原问题的检验数是小于零的。但此时原问题不一定是基可行解，所以，可以在原问题是非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也可以得到最优解。,当X满足检验数全部非正的条件时，称X具有对偶可行
13、性。,检验数全部非正的基解称为原问题的正则解，对应的基阵称为正则基。,原单纯形法与对偶单纯形法的迭代的不同之处：,原单纯形法是从一个基解迭代到另一个基解，在迭代的过程始终保持可行性，使其非正则性（即对偶不可行性）逐步消失，一旦满足正则性（即对偶可行性），便是最优解。,对偶单纯形法是从一个基解迭代到另一个基解，在迭代的过程始终保持正则性，使其不可行性逐步消失，一旦满足可行性，便是最优解。,例、用对偶单纯形法求解：,解：将模型转化为,所以， X*=（2 . 2 . 2 . 0 . 0 . 0），Z* =72， 原问题 Z* =72其对偶问题的最优解为：Y*= (1/3 . 3 . 7/3)，W*=
14、 72,五、 灵敏度分析,一、资源数量变化分析,资源数量变化指系数br发生变化，这意味着资源变化 即 假设规划问题其他系数不变，则原问题的解变为 只要 最终表中检验数不变，则最优基不变，但最优解的值发生了变化。,此时，要保证最终表求得的b列所有元素都要非负,即,由此可得,于是得到,例： 某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列 线性规划,求： （1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？ （2）若b3=55，求出新的最优解。,解得40b350，即当b340，50 时，最优基B 不变,（2）当 b3= 55 时,=,目标函数价值系数cj的变化分析,目标函数价值系数的变化也就意味着市场
15、变化,检验数可以写成,要使最优解不变，检验数仍然非负。即,当cj是非基变量xj的系数,即,时，最优解不变。,例：已知线性规划,求：c2的变化范围，使得最优解不变。,当cj是基变量xj的系数,因为ciCB,当，ci变化时，检验数也发生变化。,求：c1，c2，c3的变化范围，使得最优解不变。,例：某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列线性规划,已知最优表如下。 （1）确定x2的系数c2的变化范围，使原最优解保持最优； （2）若c2=6，求新的最优计划。,4 = c25 0 5 = 52c2 05/2 c2 5,最优解X*=（35，10，25，0，0）保持不变。,（1）,x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/2,（2）,
