1、第三节 逆矩阵,一、逆矩阵的概念 定义 对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B, 使得AB=BA=E。 则称矩阵A是可逆的，并把方阵B称为A的 逆阵(inverse matrix),记做A-1 ,即B =A-1 。,二、逆矩阵的初等性质 性质1 如果A是可逆的，则A的逆阵是唯一的。 这是因为：设B、C都是A的逆阵，则有B=BE=B(AC)= (BA)C=EC=C， 所以A的逆阵是唯一的。性质2 当A可逆时, A-1 也可逆,并且(A1)-1 =A.性质3 若A和B均为可逆矩阵,则(AB)也可逆, 并且(AB)-1=B-1A-1,性质4 当A可逆时, AT 也可逆,并且(AT)1 = (A1)T
2、.性质5 当A可逆时, | A1|=|A|1=1/|A|.性质6 若A可逆,数 0, ()-1=A-1/ .,三、矩阵的求法 定理1 若方阵A可逆，则|A| 0 。 证明 A可逆，即有A的逆矩阵A1，使得AA1 = E。故|A|A1|=|A|A1| = |E| = 1，所以|A| 0。定理2 若|A| 0，则方阵A可逆，且 其中A*为方阵A的伴随阵:,定义15 如果n阶方阵A的行列式det A 0，则称A为非奇异(nonsingular)矩阵（或称为非退化(nondegenerate)矩阵），否则称A是奇异矩阵（或称为退化矩阵）。由上面的两个定理可知： 定理（可逆的充分必要条件）A是可逆矩阵的
3、充分必要条件是|A| 0。即可逆方阵就是非奇异方阵。,例1 判定矩阵是否可逆。若可逆，求出其逆矩阵。 解 由于故A可逆.,例2 已知 求A1 。解 |A|adbc 0，故A可逆。 且易得,例3 设求矩阵X满足 AXB=C 。 分析 若A、B可逆，则用A1左乘上式，B1右乘AXB=C ，有A1AXBB1=A1CB1，即 X=A1CB1。,例4,例5,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,解,例6,解,例7,四、应用问题,1.人口失业问题 2.信息加密问题,三、求逆矩阵的初等变换方法关于初等矩阵的逆矩阵，我们有如下结论： 初等矩阵均为可逆矩阵，
4、并且其逆矩阵仍为同类 型的矩阵。其中,根据初等矩阵的性质和可逆矩阵是满秩矩阵，我们可以得到可逆矩阵的初等分解定理：定理4 设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵P1，P2，Ps，使A=P1P2Ps证 因A为可逆矩阵，AE，故E经过有限 次初等变换可变成A，也就是存在有限个初 等矩阵P1，P2，Ps，使P1P2PtEPt+1Pt+2Ps = A，（1ts） 即 A=P1P2Ps。,显然，若存在s个初等矩阵P1，P2，Ps，使A=P1P2Ps，则因为初等矩阵都是可逆矩阵，所以|A|=|P1|P2|Ps| 0，故A可逆。从而，结合上述定理我们得到：方阵A可逆的充分必要条件是存在s个初等矩阵P1，P2，
5、Ps，使A= P1P2Ps。推论1 mn矩阵AB的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ = B。,推论2 设A是mn阶矩阵，R（A）= r， 则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使,设A为n阶可逆矩阵，则A1也是n阶可逆矩阵。因此由定理6，A1可以表示为有限个初等矩阵的乘积，即存在n阶初等矩阵P1，P2，Ps，使A1=P1P2Ps 上式也可写成（*） A1=P1P2PsE将此式的两边同时右乘A，得到A1A=P1P2PsA 即 （*） E=P1P2PsA,比较（*）式和（*）式可以看出：当对矩阵A进行有限次初等行变换，将A化成单位矩阵E时，对单位矩阵E进行相同的初等行变
6、换，就可以将E化成A1。于是，我们可以采用下列方式求A1：将A和E并排放在一起，组成一个n2n矩阵（A ，E），对（A ，E）作一系列初等行变换，将其左半部分化成单位矩阵E，这时其右半部分就是A1。即,例：求A1 ，其中,完全类似我们可以用初等列变换来求矩阵A的逆矩阵。即,实际上我们还可以用初等变换方法求解一般的矩阵方程AXB或XHG，即求XA1B或XGH1。此时可按如下方法进行：,例：求解矩阵方程 AX=A + 2X，其中 解：由AX=A + 2X可得（A 2E）X = A 因为,所以,线性方程组与矩阵方程的关系方程组其实就是矩阵方程 AX=B,其中A为上述方程组的系数矩阵，X为由n个未知数组成的列矩阵，而B为上述方程组右边的数组成的列矩阵。这由矩阵的乘法定义易直接验证。,因此上述方程组可用初等变换来求解上述过程实际上就是我们非常熟悉的 Gauss消元法。这也是初等行变换的来源。,
