1、矩阵的加法,主要内容,数与矩阵相乘,矩阵的乘法,方阵的幂,第二节 矩阵的运算,矩阵的转置,方阵的行列式,矩阵矩阵乘积的意义,伴随矩阵,1.定 义 设 A (aij)mn 与 B (bij)mn 是,A - B = A + (-B) .,阵.,显然有 A + (-A) = O.,由此可定义矩阵的差为,若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩,矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为 AB,两个同型矩阵，称 mn 矩阵 C (aij + bij)mn 为,一、矩阵的加法,例1 设,(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因;(2)
2、求 C 的负矩阵.,(1) A 与 B 能进行加法运算;,阵, A 和 B 都是 32 矩阵, C 是 22 矩阵.,B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩,而 A 与 C,解,(2) C 的负矩阵为:,2. 运算规律设 A, B, C 为同型矩阵, 则(1) A + B = B + A ( 加法交换律) ;(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律);(3) A + O = O + A = A,(4) A + ( -A ) = O .,其中 O 是与 A 同型矩阵;,二、数与矩阵相乘,例2 设,且,在,求矩阵 X .,两端同加上,得,解,两端
3、乘以,得,2. 运算规律设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则,(1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA.,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的,线性运算.,设某地区有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都,产量(单位: 个) 如下表所示:,生产、 4 种产品.已知每个工厂的年,引例 总收入与总利润,三、矩阵的乘法,已知每种产品的单价 ( 元/个 ) 和单位利润(元/个),求各工厂的总收入与总利润.,如下表所示:,解 容易算出各工厂的总收入与总利润, 也,本例中的三个表格
4、可用三个矩阵表示, 设,可以列表如下:,易见 矩阵 A 的列数 = 矩阵 B 的行数,矩阵 C 的行数 = 矩阵 A 的行数,矩阵 C 的列数 = 矩阵 B 的列数. 如果记A = (aij)34 , B = (bij) 42 , C = (cij) 32 , 则cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 我们把矩阵 C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积.,注意: 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第,二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.,例 3 已知,求 AB.,因为 A 是 24 矩阵, B 是 43 矩阵,定
5、义有,其乘积 AB = C 是一个 23 矩阵, 由矩阵乘积的,解,9,-2,-1,9,9,11,左 i 行右 j 列对应元素相乘再求和等于乘积的 (i,j) 元素,对于线性方程组,若令,则上述线性方程组可写成矩阵形式:,AX = b.,但 A C .,例如,定义 对矩阵A与B，若有则称A与B是可交换的。,例 4 设 ，计算AB与BA,该例题还表明，矩阵乘法没有交换律； 且 但,例如，n阶单位矩阵E和n阶方阵A是可交换的,两个非零矩阵的乘积 可能是零矩阵.,解 设B与A可交换，则B应是2阶方阵，不妨记由 ，即得所以 解得故与A可交换的所有矩阵为其中a、c为任意常数。,2. 运算规律(1) Ok
6、mAmp=Okp , AmpOpn=Omn ;(2) 设 A 是 m n 矩阵, Em 是 m 阶的单位矩,(5) k(AB) = (kA)B = A(kB).,(B + C)A = BA + CA;,(3) (AB)C = A(BC); (4) A(B + C) = AB + AC,EmA = A, AEn = A ;,阵, En 是 n 阶的单位矩阵, 则,四、方阵的幂,2. 运算规律设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则,阶方阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k AkBk .,又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n,AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl .
7、,由数的乘法运算规律推出的一些公式未必完全适合矩阵 ：,例如,设 f (x) = a0 + a1x + + amxm 为 x 的 m 次多,项式， A为 n 阶，记,f (A) = a0 E + a1 A + + am A m ，,f(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.,3. 矩阵多项式定义,f(A)并且应为和A同阶 的方阵.,设 A 为方阵, 可定义矩阵A多项式：,五、矩阵的转置,1.定 义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到,例如矩阵,的转置矩阵为,一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 AT 或 A.,2. 运算规律设 A，B，C，A1，A2，Ak 是矩阵，且,(A1A2Ak)T
8、 = AkTA2TA1T ;,(1) (AT)T = A ; (2) (B + C)T = BT + CT ; (3) (kA)T = kAT; (4) (AB)T = BTAT ;,则,它们的行数与列数使相应的运算有定义， k 是数，,(5) 若 A 为 n 阶矩阵, 则 (Am)T = (AT)m ,A 为反对称矩阵的充要条件是 AT = - A .,(6) A 为对称矩阵的充要条件是 AT = A;,m 为正整数;,例5 已知,例6 设 A 为 n1 矩阵, 且 ATA = En , En 为 n,阶单位矩阵, B = En - 2AAT , 证明: B 为对称矩阵,且 B2 = En
9、.,由于:,BT = (En - 2AAT)T = En - (2AAT)T,= En - 2(AT)TAT = En - 2AAT = B,因而矩阵 B 为对称矩阵.,B2 = (En -2AAT)(En - 2AAT),= En -2AAT -2AAT + 4AATAAT,= En -2AAT -2AAT + 4A(ATA)AT = En .,证明,又,证毕,例7 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,六、方阵的行列式,( determinant ),证（3）,设,其中,考虑 阶行列式由第一章例10知：,另一方面,所以,七、伴随矩阵,二阶A矩阵的伴随矩阵.,AA* = A*A = |A|E .,性质,证明,则,故,同理可得,一个很重 要的式子,公式,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,
