1、数学建模,Mathematical Modeling,主讲：窦霁虹,数学建模,绪论,数学建模，在20世纪70年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动的开展，这门课越来越得到重视。,数学建模教学活动：包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）实验课程以及一些课外数学建模科技活动等。,1 现状：,90年代初，西北大学首次面向数学系各专业开始这门课程，从开始的选修课一直到现在的必选课。 本世纪初，西大把这门课作为通识课面向全校学生开设。 2010年西大经济管理学院把这门课作为有些专业
2、的必修课。 2005年西大数学系设立了研究生数学建模方向并开始招生。 2011年西大数学系招生了第一批与数学建模相关的专业硕士。,关于建模课程,数学建模竞赛，最先是1985年出现在美国。 1989年在几位教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的数学建模竞赛。经过两三年的参与，师生们都认为这项竞赛有利于学生的全面发展，也是推动数学建模教学在高校迅速发展的好形式。 1992年由中国工业与应用数学学会组织了我国10个城市的大学生数学模型联赛。教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。,关
3、于建模竞赛,1997年西北大学连年参加全国大学生建模竞赛。 2004年又掀起了研究生的建模竞赛活动。 2009年西北大学开始组织研究生参加数学建模竞赛。 （第六届） 2012年西北大学开始组织研究生参加美国数学建模竞赛。,建模教学活动不断深化、越来越广泛的蓬勃发展，经久不衰，并且越来越受到广大学生的喜爱。,由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。 社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。,原因,2 课程特点,很强的实用性：教材的内容来自于实际。 知识的广泛性：依赖于各方面的基
4、础知识。 内容的趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。 教学方式的多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生报告方式，课堂教学方式，课外教学方式等。,3 教学目的,培养学生解决实际问题的综合能力。,1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力 4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力 6）团结协作的精神,4 课时,上课：每周3学时，共54学时。,上机：6-9个实验题目，共18学时。,上机时间：第3周开始，共上机9周。,教师授课42-46学时，以教师为主，结合课堂讨 论和计算机实验等，学习课程内容。 学生报告课8-12学时，以3人为
5、一组，自选题目，以课堂报告形式，讲解建模的整个过程。记平时成绩，占总成绩的15% 。 作业、纪律等，占总成绩的5% 。 期中考试，以论文形式考查（参加校建模竞赛），占总成绩的20%。 期末考试（包括上机，闭卷），占总成绩的60%。,5 课程要求,6 教学内容,第一章 数学建模概述 第二章 初等模型 第三章 线性代数模型 第四章 线性规划模型 第五章 决策与对策模型 第六章 概率统计模型 第七章 微分方程模型,7 教学参考书,1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社. 2 王连堂等.数学建模.陕西师范大学出版社. 3 周义仓,赫孝良.数学建模实验.西安交通大学出版社. 4 刘
6、来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社. 5 FRANK.R（美）著叶其孝译.数学模型.机械工业出版社. 6 优化建模与LINDO/LINGO软件.清华大学出版社 05，7 7 数学建模算法与应用.国防科技出版社. 2012.,数学建模,第一章 数学建模概述,数学建模概述,数学模型 数学建模过程 数学建模示例1,2,3 建立数学模型的方法和步骤 数学模型的分类 讨论与思考 练习,模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。,数学模型,直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
7、物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。思维模型，符号模型，数学模型。,数学模型1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。,数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。,总
8、之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。,古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理” 文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试” 微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。,费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示 “光沿着所需时间最短的路径前进”牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达， 如，牛顿第二 定律：,结合开普勒三定律得出万有引力定律,航行问题,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30
9、小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？,用 分别代表船速、水速，可以列出方程,解方程组，得,答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。,数学建模过程,数学建模过程,表述,（归纳）,求解,（演绎）,解释,验证,现实对象与数学模型的关系,数学建模示例之一,建模示例之一 椅子的稳定性问题,椅子的稳定性问题,问题： 将四条腿一样长的正方形椅子放在凹凸不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。 请用数学模型给于解决。,西北大学数学系,1 问题分析,对“放稳”的理解 设法使它放稳，有哪些方法？方法的关键是什么？ 衡量放稳的数学依据是什么？,西北大学数学系,1）地面为光
10、滑曲面； 2）相对地面的弯曲程度，椅子的腿是足够长的； 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触； 4）椅子的中心不动。,西北大学数学系,2 假设,x,y,A,A,B,B,C,C,D,D,O,3 建模分析,表示A,C与地面距离之和,表示B,D与地面距离之和,则由三点着地，有,不失一般性，设初始时：,西北大学数学系,假设： 是 的连续函数，且 对任意 ，求证：至少存在 ，使得,4 数学模型,西北大学数学系,数学命题：.,5 模型求解,证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由,可得,令,由 的连续性， 根据介值定理，在 中至 少存在一点 ,使得 ,即,又,所以,思考题：长方
11、形的椅子会有同样的性质吗？,6 结论,西北大学数学系,能放稳。,7 注意,数学模型的形式：数学命题。 有时还有图形、图表、数学符号等。,西北大学数学系,o,x,y,A,B,C,D,思考题1 长方形椅子稳定性问题,表示A,B与地面距离之和,表示C,D与地面距离之和,则由三点着地，有,A,C,A,B,C,D,数学建模方法与步骤,建立数学模型的方法和步骤,方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。,统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。,系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如
12、：层次分析法。,建模步骤,模型分类,模型的分类,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分,人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。,3）按模型的应用领域（或所属学科）分,初等模型、几何模型、线性代数模型、 微分方程模型、图论模型、马氏链模型、 运筹学模型等。,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分,5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。,白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模
13、型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。,6）按对模型结构的了解程度分,练习,1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？,A,B,甲,乙,37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？,一般思维：,逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了3
14、6场。,3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？,车站,家,5：30,相遇,早10钟,5分钟,5分钟,6：00,5：55,共走了25分钟。,甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？,8:00,8:10,8:20,8:30,甲至乙,乙至甲,x,X-8:00=0:09 x=8:09,8:09,8:19,一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和 1 km 且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4 km/h和 2 km/h 的速度步行回家。一小狗以6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也忘返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？,6 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）,d,A,B,河,
