1、高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。,定义 形如,的方程，称为二阶线性微分方程。,6 二阶常系数线性微分方程,当f(x)=0时，称为二阶齐次线性微分方程；,当f(x)0时，称为二阶非齐次线性微分方程；,设 y1= y1(x), y2= y2(x), yn= yn(x)是一组定义在区间I上的函数，如果存在n个不全为零的常数k1 , k2 , , kn , 使得xI, 恒成立,k1 y1 + k2y2 + + kn yn = 0,则称y1 , y2 , , yn ,是线性相关的. 否则称它们是线性无关的.,一、函数的线
2、性无(相)关定义,例1. sin2x, cos2x, 1 在R上线性相关.,因 sin2x + cos2x 1 = 0,例2. 1, x, x2, , xn-1, 在R上线性无关.,证: 若k0 , k1, , kn-1, 使,k0 + k1x + + kn-1 x n1 = 0,在R上成立, 必有k0 = k1 = = kn-1 = 0.,命题 两个非零函数 y1, y2在区间 I上线性无关,二、二阶线性微分方程及其解的结构,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,(1),(2),如果 y1, y2是齐次方程(1)的两个解, 则
3、,(i) y = y1+ y2 也是(1)的解.,(ii) y = ky1也是(1)的解.,证: (i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0,所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0.,即 y 是 (1) 的解.,同理可证(ii).,叠加原理,若 y1, y2是二阶方程(1)的两个线性无关的解,则方程(1)的通解为,y = C1 y1 + C2 y2,其中C1, C2为任意常数.,同理, 若 Ln(y) = 0有n个线性无关的解y1 , y2 , , yn, 则通解为,y = C1 y1 + C2 y2 + + Cn yn,定理 1,定理1指出了二阶线性齐次
4、方程的通解的结构： 通解是两个线性无关的特解的线性组合；,容易验证：,是二阶齐次线性方程,的两个特解，且线性无关； 所以 的通解为：,定理 2,设 y*是方程(2)的解, y 是(1)的解, 则,也是(2)的解.,y* +y,证: L (y*+y ) = L (y*) + L (y ),= L (y*),= f (x),定理2指出了二阶非齐次线性方程的通解的结构： 非齐次线性方程的通解由两部分组成: 一部分是对应的齐次方程的通解， 另一部分是非齐次方程自身的特解。,定理3,L (y) = f1 (x) 和L (y) = f2 (x),的解,L (y) = f1 (x) + f2 (x),的解.
5、,容易验证：设,是某二阶非齐次线性方程的解，求该方程的通解。,解,所以Y1，Y2线性无关，故通解为：,一般形式,二阶,由定理1可知，只要找出（1）的两个线性无关的特解 y1,y2,便可得方程（1）的通解 y=C1y1+C2y2,三、二阶常系数齐次线性方程解法,（1）,设想(1)有形式解 y = erx (为什么?),(2),r2 + pr + q = 0,故有,(2)式称为(1)的特征方程, 分三种情形讨论,(i) = p2 4q 0, (2)有两个不等实根 r1, r2.,(1)的通解为,代入得,(r2 + pr + q ) erx = 0,解：特征方程是,r2 r 6 = 0,其根r1=3
6、, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为,y = C1e3x + C2e2x.,(ii) = 0, r1= r2( = r),一特解为,得齐次方程的通解为,例2 求解方程 4y + 12y + 9y = 0.,解：特征方程是,4r2 +12r + 9 = 0.,此方程有二重实根,故所求通解为,(iii) 0, r1,2 = i 为一对共轭复根.,得(1)的两个复数形式的解,Y1 = e( + i)x,Y2 = e( i)x,由叠加原理, 知,也是(1)的解, 且线性无关,故(1)的通解为,例3 求解方程 y6y+13y=0.,解：特征方程是,r2 6r + 13 = 0.,其根 r1,2=
7、32i为一对共轭复根,故所求通解为,特征根,方程的通解,一对共轭复根r1,2= i,两个不等的实根r1, r2,两个相等的实根r1=r2=r,( 0),求二阶常系数齐次线性微分方程通解步骤：,Step1：写出方程（1）的特征方程,Step2：求出特征方程的两个根r1, r2,Step3：根据（3）的两个根的不同情况，按照下 表写出方程（1）的通解：,上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性方程的情形, 此时特征方程为,其特征方程的根对应微分方程的解的情况如下表,特征根,对应的线性无关的特解,(1) 单实根 r,r1,2=i,(2) k重实根 r,(3)一对单复根,r=i,(4)一对k重复根,(
8、 0),( 0),例4 求解方程,y(4) 2y + 5y = 0.,解：特征方程为,r42r3+5r2=0.,对应线性无关的特解为y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解为,其根为r1= r2=0, r3,4=12i.,解：特征方程,对应线性无关的特解为y1=e2x, y2= ex, y3=xex, y4= x2 ex, 故所求通解为,例5 求解方程,其根为r1= 2, r2= r3=r4= 1.,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,四、二阶常系数非齐次线性方程的解法,类型 I,(*)
9、,设方程(*)特解具有形式,则,代入(*)并消去 ex ,(i) 当 不是特征根, 即2 + p1 + p2 0 , Q(x) 为 m 次多项式,(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0.,Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零.,Q(x) = x Qm(x),(iii) 是重根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 2 + p2 = 0. Q(x)是 m +2次多项式, 取常数项和一次项系数为零,Q(x) = x2 Qm(x),总之,k 取0, 1 或 2 视不是特征根, 是一重根或是二重根而定, Qm(x)与 Pm(x)次数相同, 为待定多项
10、式.,例6 求方程 y+9y=xe5x的特解.,解：特征方程是,r2+9=0,由于=5不是特征方程的根, Pm(x)=x, 可设特解为,y* = (ax+b)e5x,代入原方程得,34ax+(10a+34b)=x.,其根为r1,2=3i.,比较等式两边同次幂的系数，得,34a=1,10a+34b=0,解得,于是求得一个特解为,例7 求方程 y 2y+ y = ex(1+x)的通解.,解：特征方程是,r22r+1=0,其根为r1=r2=1，对应齐次线性方程的通解为：,因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为：,代入原方程中得,所以,从而有一特解为,故原方程的通解为,解,对应齐次方
11、程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,练习,类型 II,当 i 不是特征根时, k = 0;,当 i 是一重特征根时, k = 1;,在不加推导的情况下, 给出的 y* 形式,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,例8 求方程 y+y=xcos2x 的通解.,解： 特征方程为,r2+1=0,其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为,y = C1cosx + C2sinx.,因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为,y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x,y* = (4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2x,y*代入原方程，得,比较两端同类项的系数，得,解之得,于是求得一个特解为,因此方程的通解为,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例9,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例10,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,
