1、第一篇,力学,第4章 功和能,a,b,o,总功:,Work & Power,第1节 功 功率,1. 功 力的空间积累效应,元功,t,t+dt,功是标量， 但有正负。,例. 一人从H10m深的水井中提水,开始时,桶中装有M10kg的水(忽略桶的质量).由于水桶漏水, 每升高1m要漏出0.2kg的水,求将水桶匀速地从井中提到井口的过程中,人所做的功 。,解:,因水匀速上升,例.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力拉着质量为m的车沿半径为R的圆弧形路面极缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为，求 车由底端A被拉上顶端B时,各力对车所做的功。,解:,车受4个力的作用： 拉力F , 摩擦力f，沿切
2、向； 路面支持力N，指向圆心O； 重力mg，竖直向下。,在切向与法向有:,拉力的功:,重力的功:,摩擦力的功:,路面支持力 N的功为零。,2. 功率,平均功率：,瞬时功率(功率)：,做功的快慢,例. 速度大小为v0=20m/s的风作用于面积为S=25m2的船帆上, 作用力 , 其中a为无量纲常数, 为空气密度，v为船速。求风的功率最大时的条件。,解:,令,即,则,时, P最大。,复习：,动量定理,角动量定理,角动量守恒,注意：,(1)质点系 合外力(矩),动量守恒,冲量力的空间积累效应 功 力的空间积累效应,(瞬时)功率：,(2)非惯性系 惯性力,第2节 保守力 势能,Conservative
3、 Force & Potential Energy,1. 几种力的功,重力的功:,弹力的功:,万有引力的功:,2. 保守力,做功的大小只与 始末位置有关， 而与路径无关。,讨论: 当质点在保守力的作用下 沿闭合路径apbqa绕行一周时 ，,保守力的环流为零,那非保守力？,（2）质点在任一位置的势能, 等于把质点由该位置移到势能为零的点的过程中,保守力所做的功:,原则上, 势能零点可任选。,（3）势能是属于物体系统的,不为单个物体所有。,3.,（1）保守力做功等于势能增量的负值,势能是状态函数,势能的大小只有相对的意义。,势能差有绝对意义，,弹性势能曲线,重力势能曲线,引力势能曲线,势能曲线:由
4、势能函数确定的势能随坐标变化的曲线.,4. 势能与保守力的关系,又,比较以上式子可得:,保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率，其方向指向势能降低的方向。,势能曲线上的斜率,物体在各位置所受保守力的大小和方向,第3节 动能定理 功能原理 机械能守恒定律,Theorem of Kinetic Energy & Work-Kinetic Energy Theorem & Conservation of Mechanical Energy,1.质点和质点系的动能定理,质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,对质点系所有质点，有,质点系的动能定理：外力
5、的总功与内力的总功 之代数和等于质点系动能的增量。,2. 功能原理,机械能！,故,功能原理：质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和。,3. 机械能守恒定律,根据功能原理,若,则,即,恒量,当一个系统内只有保守内力做功，非保守内力和一切外力都不做功，或者非保守内力和一切外力的总功为零时，质点系的总机械能保持恒定 。 质点系的机械能守恒定律,例 质量为 m 的小球系在线的一端，线的另一端固定，线 长 L ，先拉动小球，使线水平张直，然后松手让小 球 落下求线摆下 角时，求小球的速率和线的张力。,解1：用牛顿第二定律,建自然坐标系,用 dS 乘方程（1）的两边：,代入(2)得,解2：用
6、动能定理,例 地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，一颗人造地球卫星在地面上空 h=800km 的圆形轨道上，以v1=7.5 km/s的速度绕地球运动。,突然点燃 一 火箭，其冲力使卫星附加一个 向外的径向分速度 v2=0.2 km/s使卫星的轨道变成椭圆形。,求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？,卫星所受万有引力、 火箭反冲力均通过力心，,故卫星在火箭点燃前或后对地心的角动量始终不变，是守恒的。,解：,根据角动量守恒定律：,卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力（保守内力）作用，机械能守恒：,对卫星原来的圆运动有：,远地点高度,近地点高度,联立解得：,o,例 将
7、一个质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面水平地投射,碗保持静止。设v0是质点恰好能达到碗口所需要的初速度。 试求出v0作为0的函数的表达式.,mg,N,y,x,受力分析:,所以沿y轴方向的力矩 My=0,解：,故角动量在y方向上的分量Ly守恒: L0y = Ly,取球心o为参考点,并设开始时 质点在板面内,且速度垂直向外。,垂直黑板向内,故垂直于y轴.,o,mg,N,y,x,受力分析:,故角动量在y方向上的分量Ly守恒: L0y = Ly,L0= rmv0 sin90= rmv0,L0y=L0sin0 = rmv0 sin0,则:,又，机械能守恒:,三式联立解得：,= mv0r0,解决问题的思路可按此顺序倒过来，首先考 虑用守恒定 律解决问题。若要求力的细节则必 须用牛顿第二定律。,总结：,第4章完,作业：T4-1至T4-5,
