1、2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,1,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱,13-1 非正弦周期信号,13-2 周期函数分解为Fourier级数,13-3 有效值、平均值和平均功率,13-4 非正弦周期电流电路的计算,*13-5 对称三相电路中的高次谐波,*13-6 Fourier级数的指数形式,*13-7 Fourier积分简介,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,2,13-1 非正弦周期信号,1. 定义,2. 特点,(1) 不是正弦波；,(2) 按周期规律变化,不按正弦规律变化的周期信号称为非正弦周期信号。,其中，T为周期函
2、数f(t)的周期，k =1,2,。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,3,例1：半波整流电路的输出信号。,3.举例,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,4,例2：数字电路中的脉冲信号。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,5,13-2 周期函数分解为Fourier级数,1.Fourier级数,任何满足狄里赫利（Dirichlet）条件的函数f(t)，都可以展 开成频率为 （ ，T是f(t)的周期）整数倍的一系列正弦量 的叠加，即,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,6,上式
3、中的系数可按下列公式计算：,这种将一个周期函数展开（或分解）为一系列谐波之和（即Fourier级数）的方法称为谐波分析。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,7,不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：,还可合并成另一种形式：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,8,（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；,（2）在一个周期内只有有限个极值点;,当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；,当x是f(x)的间断点时，级数收敛于,Dirichlet条件：设f(x)是周期为T 的周期函数，如果它满足：,则 f(x) 的Fouri
4、er级数收敛，并且有：,（3）在一个周期内绝对可积，即,返回,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,9,2. 利用函数的对称性确定Fourier级数的系数,（1）偶函数,（2）奇函数,（3）奇谐波函数,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,10,例：试判断下图所示波形展开式的特点。,f(t)是奇函数，故展开式中只含有正弦分量。,f(t)=,解:,又由于f(t)是奇谐波函数，所以展开式中只含有奇次谐波分量。,综上所述，f(t)的展开式应具有以下形式：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,11,3. 频谱,为了表
5、示一个周期函数分解为Fourier级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率高低顺序把它们依次排列起来，可以得到如下图形，这种图形称为f(t)的频谱（图）。由于这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称之为幅度频谱。,由于各频谱的角频率是 的整数倍，所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,12,例：试将如下周期性方波信号分解为Fourier级数并画出其频谱图。,图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：,4. 举例,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,13,
6、直流分量：,谐波分量：,解：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,14,（k为奇数）,的展开式为：,的频谱图为：,由于,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,15,基波,五次谐波,七次谐波,周期性方波波形分解示意图：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,16,直流分量+基波,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,17,t,T/2,T,IS0,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,18,5. 注意,(1)Fourier级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦
7、周期函数分解为Fourier级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数；但如果级数收敛很快，只取级数的前面几项也就够了，一般5次以上谐波可以略去；,(2)教材P322表13-1给出了几个典型周期函数的Fourier级数展开式。从式中可以看出，函数的波形越光滑和越接近于正弦波，其展开级数收敛得越快。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,19,13-3 有效值、平均值和平均功率,1. 非正弦周期函数的有效值,若,则其有效值:,上式中i的展开式平方后将含有下列各项,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,20,周期函数的有效值为直
8、流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。,这样可以求得i的有效值为,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,21,2. 非正弦周期函数的平均值,则其平均值为：,若,即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。,按上式可求得正弦电流 的平均值为,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,22,上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变成了对应的正值。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,23,例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。,解：有效值为,=,= 5A,平均
9、值为,= 2.5A,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,24,3. 非正弦周期电流电路的平均功率,利用三角函数的正交性，得：,平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,25,例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。,解：电压的有效值,U=,电流的有效值,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,26,平均功率,P =,102 + 203 + 304 +405,P =,102 + 203cos60 + 304cos(-41)+ 405cos30,20
10、18年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,27, 13-4 非正弦周期电流电路的计算,1. 计算步骤,（3）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法进行计算，并把计算结果转换为时域形式（注意：对应于各交流谐波分量的XL、XC有所不同）；,（1）利用Fourier级数，将非正弦周期函数展开成直流分量和多种频率谐波信号的和；,（4）应用叠加原理，求出所需的电路响应。,（2）应用直流电路的分析方法，计算在直流分量激励下系统的响应；,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,28,2. 举例,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程
11、学院自动化系,29,解：,（1）已知方波信号的展开式为：,代入已知数据：,得直流分量,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,30,基波最大值,五次谐波最大值,角频率,三次谐波最大值,电流源各频率的谐波分量为：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,31,（2）对直流分量和各种频率的谐波分量单独进行计算, 直流分量 IS0 作用,由于电容断路，电感短路，所以有,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,32,基波作用,由于 XL1R,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,33,三次谐波作用
12、,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,34,五次谐波作用,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,35,(3)将直流响应和各谐波分量计算结果瞬时值进行叠加,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,36,注意：（1）该方法仅适用于线性电路；,（2）把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的。,例2：已知 求图示电路中各表读数（有效值）。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,37,解：,(1) U0=30V作用于电路时，L1、 L2 短路， C1 、 C2开路。,IC10=0, I
13、0= IL20 = U0/R =30/30=1A,Uad0= Ucb0 = U0 =30V,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,38,(2) u1=120cos1000t V作用时,L1、C1 发生了并联谐振。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,39,补充内容： RLC并联谐振电路,1、并联谐振的定义,如果端口上的电压与电流同相，则称电路发生了谐振。由于是在GLC并联电路中发生的，故称为并联谐振。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,40,2、并联谐振的条件,该频率也称为电路的固有频率，它是由电路的结构
14、和参数决定的。,因为 ，可解得谐振时的 角频率 和频率 ：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,41,3、并联谐振发生时电路的主要特点,（1）谐振时输入导纳为最小值,或者说输入阻抗最大， 。,（2）谐振时有 （所以并联谐振又称为电流谐振），但,式中，Q称为并联谐振电路的品质因数。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,42,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,43,(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用时,L2、C2 发生了并联谐振。,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自
15、动化系,44,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,45,i=I0+ i1 + i2 =1A,所求的电压、电流的瞬时值为：,iC1= IC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A,iL2= IL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) A,uad= Uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V,ucb= Ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) V,电流表A1的读数：,电流表A2的读数：,电流表A3的读数：,电压表V1的读数：,电压表V2的读数：,2018年10月14日5时1分,北京科技大学信息工程学院自动化系,46,2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率,本章重点内容小结,3. 非正弦周期电流电路的计算,1. 周期函数分解为Fourier级数,
