1、现代控制理论第七讲,王凯明,长安大学理学院数学与信息科学系,主要内容:1、线性定常系统的非齐次方程的解2、线性时变系统的解3、连续时间状态空间表达式的离散化4、离散时间系统状态方程求解,2-3线性定常系统的非齐次方程的解,线性定常非齐次状态方程为：,微分方程的解法：,非齐次状态方程的解由两部分组成，第一部分是在初始状态作用下的自由运动，第二部分为在系统输入 的作用下的强制运动。,将上式由O积分到t，得,典型的控制输入时解的形式,1、 脉冲信号输入 即： 时,2 、阶跃信号输入 即,3 、斜坡信号输入 即 ，可以求得：,【例28】求下述系统在单位阶跃函数作用下的解：,解：,24 线性时变系统的解
2、,一、时变系统状态方程的特点,标量时变系统：,状态转移矩阵：,状态方程的解：,对于矢量时变系统：,?,【证明】如果,是齐次非线性方程的解,那么,要使,成立的充要条件是:,二、线性时变齐次方程的解,线性时变齐次矩阵微分：,线性时变齐次矩阵微分的解：,【证明】,令:,则有,即:,三、状态转移矩阵的基本性质,(1) 组合性质(传递性质),(2) 转移矩阵的逆(可逆性),(3) 状态矢量的不变性,(4) 转移矩阵的一阶导数,(5)基本矩阵与转移矩阵,的n个线性无关解为,称状态方程的基本矩阵，则有,设,则,四、线性时变系统非齐次方程的解,线性时变系统非齐次方程：,线性时变系统非齐次方程的解：,五、状态转
3、移矩阵的计算,1、时变系统和定常系统状态转移矩阵的区别,线性定常系统,线性时变系统,2、状态转移矩阵的计算：,证明:,【例29】线性时变系统的状态方程为,解：,试求系统的状态转移矩阵,当 时,可近似表示为,【例210】线性时变系统的状态方程为,解：,试求系统的状态转移矩阵,25 连续时间状态空间表达式的离散化,设连续系统动态方程为：,一、离散化方法：,按一个等采样周期T的采样过程处理,采样时间,输入量的值只在采样时刻变化，两相邻采样时刻之间的值是通过零阶保持器保持不变的。即,离散化的状态方程为：,其中：,证明：,考虑 时间段，则有：,比较可得：,令：,积分下限为：,积分上限为：,二、近似离散化
4、,当采样周期较小时，离散化的状态方程可近似的表示为：,即：,证明：,考虑 时间段导数，则有：,代入状态方程,即有：,【例213】试将下列状态方程离散化,解：,近似离散化,当采样周期较小时，两者是非常接近的,参见书中第75页表21对两者的比较,三、线性时变系统的离散化,线性时变系统,离散化的状态空间表达式,其中：,近似离散化的计算公式：,35 离散时间系统状态方程求解,离散时间状态方程求解的一般方法：,递推法（迭代法）和Z变换法,一、递推法（迭代法）,对于线性定常离散系统状态方程：,矢量矩阵形式：,若初始时刻为 则其解为,或：,转移矩阵：,离散系统转移矩阵的性质：,用系统转移矩阵表示离散系统的解
5、：,若初始时刻为 则其解为,【例211】求下述离散系统的解,解：,计算有一定的困难！,变换法求状态转移矩阵,系统特征方程：,系统特征值：,状态转移矩阵：,变换矩阵：,第一项：,第二项：,二、Z变换法,设线性定常离散系统的状态方程:,故有:,【例212】用Z变换法求下述离散系统的解,解：,作 业 1、P78 26 连续线性定常系统状态空间表达式的求解 2、P78 210 线性定常离散系统状态空间表达式的求解,用MATLAB求解,求下述离散系统的解,解：在MATLAB中,直接采用递推法计算状态方程的解,取两个不同的初始状态作为比较,%Example 3-9 G=1,0.01;0,0.98; H=0;0.01; U=1; X1=0;1; X2=1;0; hold on; for k=0:400 X1=G*X1+H*U; X2=G*X2+H*U; plot(X1(1),X1(2),o); plot(X2(1),X2(2),-); end,
