1、.手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180（3）OA 平分BOC变形：例 1.如图在直线 的同一侧作两个等边三角形 与 ，连结 与 ，证明ABCABDCEAD（1） DE(2) (3) 与 之间的夹角为 60(4) FG(5) CB(6) 平分HA(7) /变式精练 1：如图两个等边三角形 与 ，连结ABDCE 与AE.，CD证明（1） BCAE（2） （3） 与 之间的夹角为 60（4） 与 的交点设为 , 平分HAC变式精练 2：如图两个等边三角形 与 ，连结 与 ，ABDCEAD证明（1
2、） CABE(2） D(3） 与 之间的夹角为 60(4） 与 的交点设为 , 平分H例 2：如图，两个正方形 与 ,连结 ,二者相交于点ABCDEFGCEAH.问：（1） 是否成立？CDEAG（2） 是否与 相等？（3） 与 之间的夹角为多少度？（4） 是否平分 ？H例 3：如图两个等腰直角三角形 与 ，连结 ,二者相交于点ADCEGCEAH问：（1） 是否成立？AG（2） 是否与 相等？E（3） 与 之间的夹角为多少度？C（4） 是否平分 ？HD例 4：两个等腰三角形 与 ，其中 , ,连结 与ABDCEBDA,ECCBEAA，CD.问：（1） 是否成立？DBCAE（2） 是否与 相等？（
3、3） 与 之间的夹角为多少度？（4） 是否平分 ？H例 5：如图，点 A. B. C 在同一条直线上，分别以 AB、BC 为边在直线 AC 的同侧作等边三角形ABD、BCE.连接 AE、DC，AE 与 DC 所在直线相交于 F，连接 FB.判断线段 FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你的结论。【练 1】如图，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条直线上，且角 EBD=62，求角 AEB 的度数 倍长与中点有关的线段倍长中线类.考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目
4、的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线ABC 中 方式 1： 延长 AD 到 E， AD 是 BC 边中线 使 DE=AD， 连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD 于 F， 延长 MD 到 N，作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD【例 1】 已知： 中， 是中线求证： ABCM1()2AMBC MCBA【练 1】在 中， ，则 边上的中线 的长的取值范围是什么？ABC59AC， BAD【练 2】如图所示，在 的 边上取两点 、 ，使 ，连接 、 ，求证：ABCEFABCEFACBECF
5、DAB CEDAB CFEDCBAND CBAM.FE CBA【练 3】如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，D 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上的一点，且BD=CF，连结 DF 交 BC 于 E求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例 2】 如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，延长 交 于 ，ABCDBEADBEACF，求证： AFEEFED CBA【练 1】如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交ABCDBEADEACE于 ，求证：FEFFEDCBA【练 2】如图，在ABC 中，ABAC ，E 为 BC 边的中点， AD 为BAC 的
6、平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G. 求证：BF=CG.【练 3】如图，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交ABCDBEBCEFAD CF于点 ，若 ，求证： 为 的角平分线ABGFAGFEDCBA【练 4】如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、ABCDBACEFBD上 ， ADEF求证： FACDEB【例 3】已知 为 的中线， ， 的平分线分别交 于 、交 于 求证：AMBCAMBCACFBECFFEMCBA【练 1】在 中， 是斜边 的中点， 、 分别在边 、 上，满足 若RtABCFABDECAB90DFE，
7、，则线段 的长度为_3D4EDE.FEDC BA【练 2】如图，ABC 中，AB=2AC ，AD 平分 BC 且 ADAC，则BAC=_.【练 3】在 中，点 为 的中点，点 、 分别为 、 上的点，且 ABCDBMNABCMDN（1）若 ，以线段 、 、 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三90C角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果 ，求证 22MN2214DM NDAB C【例 4】如图，等腰直角 与等腰直角 ， 为 中点，连接 、 .ABCBDEPCPAD探究 、 的关系.（证角相等方法）PD【练 1】如图，两个正方形 和 ，点 为 的中点，连接 交 于点 .ABDECGF
8、PBCPAEFQ.探究 与 的数量关系和位置关系.（证角相等方法）APEF【练 2】如图，在 中， ， ， 是 边的中线.求证：ABCABDDAEBEAC【例 5】如图所示，在 中， ，延长 到 ，使 ， 为 的中点，连接 、ABCABDABECE，求证 CD2E EDCBA【练 1】已知 中， ， 为 的延长线，且 ， 为 的 边上的中线ABCABDBDACEBA求证： 2DE E DCBA【练 2】如图,CB、CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 中线,且.AC=AB,ACB=ABC. 求证 CE=2CD.【例 16】如图，两个正方形 和 ，点 为 的中点，连接 交 于点 .ABDECGF
9、PBPAEFQ探究 与 的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）APEF【练 1】已知：如图，正方形 和正方形 ，点 是线段 的中点.ABCDEGFMDF试说明线段 与 数量关系和关系.ME.如图，若将上题中正方形 绕点 顺时针旋转 度数（ ），其他条件不变，上述结EBGF90论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.DOECBA全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说
10、明要求角的度数，进而得到角相等，全等)【例 10】 如图所示， 中， ，AD 平分 交 BC 于 D。求证：ABC0045,9BBACAB=AC+CD。【练 1】如图所示，在 中， ， 的角平分线ABC06ABCAD、CE 相交于点 O。求证：AE+CD=AC 。【练 2】已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判ABC60BDCEABC断 、 、 的数量关系，并加以证明ED【练 2】如图,在四边形 ABCD 中,ADBC，AE 平分BAD 交 DC 于点 E，连接 BE，且 AEBE ，求证：AB=AD+BC.DACBOEDAB C.NMDCBA【练 3】已知：如图,在ABC
11、中,A=90，AB=AC ，BD 是ABC 的平分线。求证：BC=AB+AD.【练 4】点 M，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证 MN=MB+NC【例 11】已知如图所示，在ABC 中,AD 是角平分线,且 AC=AB+BD,试说明B=2C （不只是边，倍角也适用）【练 1】如图，在ABC 中，ABAC，BD AC 交 AC 于点 D求证：DBC BAC 2.DCBA【例 12】如图所示，已知 ，P 为 BN 上一点，且 于 D，AB+BC=2BD，求证：21BCP。08BCPA【练 1】如图，在四边形 ABCD 中，BCBA, AD
12、CD，BD 平分 ，ABC求证： 018CA【例 13】如图所示，在 中，AB=AC ， ， ，CE 垂直于 BD 的延长ABCRt09BACCD线于 E。求证：BD=2CE 。【练 1】已知：如图示，在 RtABC 中，A=90，ABC=2C，BD 是ABC 的平分线求证：CD=2ADDACE B21DMB CPNAC.EDB CA【练 2】如图所示，在 中， ，AD 为 的平分线， =30 ， 于 EABC09BC0ADB点，求证：AC-AB=2BE 。【练 3】正方形 ABCD,E 是 BC 上一点,AE EF,交DCH 的平分线于点 F，求证 AE=EF【练 4】已知在ABC 中，AB
13、=AC ，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CEF ECABD.【例 14】如图所示，已知 /CD， 的平分线恰好交于 AD 上一点 E，求证：ABBCD,BC=AB+CD。【练 1】如图，已知 ADBC，PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于 E，CE 的连线交 AP 于 D求证：AD+BC=AB 【练 2】如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点，且 AF 平分DAE ，求证：AE=EC+CD【练 3】在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，B=2C 求证： CD=AB+BD【练 4】如图所
14、示,在三角形 ABC 中,ACB=90,AC=BC,D 为三角 形ABC 外一点,且 ADBD,DE AC 交 AC 的延长线于点 E.试探求EBACPEDCBA.ED、AE 和 BC 之间有何数量关系【练 5】在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论【例 15】如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证：AB-ACPB-PCA12PB C【练 1】已知 为 的中线， ， 的平分线分别交 于 、交 于 AMBCAMBCAEF求证： EF M
15、FE CBA如图，E 是 的平分线上一点， ， ，垂足AOBOAECDDFEAB C DFDCAO BE.为 C、D。求证：（1）OC=OD； （2）DF=CF。构造等边三角形1、如图,已知ABC 中,AB=AC,D 是 CB 延长线上一点,ADB=60，E 是 AD 上一点，且有 DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰 中， ，顶角 ，在边 上取点 ，使 ，求 .ABCA20ABDABCDDCBA.练习 1、如图,在ABC 中,ACB=90,BE 平分ABC,DEAB 于 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm练习 2、在ABC 和AB
16、C中,AB=AB,AC=AC, 点 D,D分别是 BC,BC的中点,且 AD=AD,证眀：.CBA（倍长中线）练习 3、如图，在ABC 中，BE 是ABC 的角平分线，ADBE，垂足为 D，求证：2=1+CAB CDAB CD.练习 4、如图（1），已知ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B、C 在 A、E的异侧，BDAE 于 D，CE AE 于 E（1）试说明：BD=DE+CE（2）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（3）位置时（
17、BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由如图所示，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，有过 A 的任一条直线 AN，BDAN 于D，CEAN 于 E，求证：DEBDCE （思路：截长补短法）如图,在ABC 中,AB=AC,D 是三角形外一点 ,且ABD=60,BD+DC=AB.求证：ACD=60.（截长补短）.1、如图，等腰直角 与等腰直角 ， 为 中点，连接 、 .ABCBDEPCPAD探究 、 的关系.（辅助线的连法都一样）PD2、已知：如图，正方形 和正方形 ，点 是线段 的中点.ABCDEGFMDF试说明线段 与 数量关系和关系
18、.（辅助线的连法都一样）ME如图，若将上题中正方形 绕点 顺时针旋转 度数（ ），其他条件不变，上述结EBGF90论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.MFE CBA3、已知 为 的中线， ， 的平分线分别交 于 、交 于 AMBCAMBCABECF 求证： （辅助线的连法都一样）EF【阅读理解】已知：如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，B=90，AD 是角平分线，交 BC 边于点 D求证：AC=AB+BD 证明：如图 1，在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，则由已知条件易知：RtADBRtADE（AAS）AED=B=90，DE=DB又C=45，DEC 是等腰直角三角形D
19、E=ECAC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图 2，等腰直角三角形 ABC 中，B=90，AD 是BAC 的平分线，交 BC 边于点D，DEAC，垂足为 E，若 AB=2，则三角形 DEC 的周长为 【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交 BC 边于点 D”换成“AD 是外角平分线，交BC 边的延长线于点 D 如图 3”，其他条件不变，请你猜想线段 AC、AB、BD 之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】.任意三角形 ABC，ABC=2C ，AD 是BAC 的外角平分线，交 CB 边的延长线于点 D，如图 4，请你写出线段 AC、AB、BD 之间的数量关系如图,已知B=C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC.（1）求证：AM 平分 DAB（2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？（3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出 结果。
