1、第6章 函数(1),栾新成 四川大学软件学院 85997822 13808024081,主要内容,1、函数的基本概念 2、单射、满射、双射和逆函数 3、函数的递归定义,2018年10月14日,2,概述,函数是一种特殊的二元关系,我们可以把函数看作输入输出关系;它把一个集合(输入集合)的元素变成另一个集合(输出集合)的元素。在高等数学中，函数的概念是从变量的角度提出来，而且是在实数集合上讨论，这种函数一般是连续或间断连续的函数。这里，将连续函数的概念推广到对离散量的讨论。前面所讨论的有关集合或关系的运算和性质，对于函数完全适用。 任何程序在计算机中的实现,都包含种种这样或那样的变换。如编译程序
2、把一个源程序变换成机器语言的指令集合目标程序。或者说,计算机中的程序可以把一定范围内的任一组数据变换成另一组数据。 函数是许多数学工具的基础,计算机科学中大量用到函数,如数据结构,程序语言的设计与实现,开关理论,自动机理论,代数结构,可计算性理论,计算复杂性,程序正确性证明等。,2018年10月14日,3,一般集合的函数概念,定义6-1.1 设f是集合A到B的关系，如果对每个xA，都存在惟一的yB，使得f，则称关系f为A到B的函数（或映射、变换），记为f：AB。当f时，通常记为y=f(x)，这时称x为函数的自变量，称y为x在f下的函数值（或映象）。 由函数的定义显然有：(1) domf=A，称
3、为函数f的定义域；(2) ranf=B，称为函数f的值域，ranf也可记为f(A)，并称f(A)为A在f下的象；(3) ff y=z；(4) |f|=|A|。 注意，f(x)仅表示一个变值，但f则代表一个集合，因此ff(x)。,2018年10月14日,4,一般集合的函数概念,例6.1 判断下图所示的几个关系是否是函数：解 f3、f4、f5、f6都是函数，但f1、f2则不是函数。因f1中A的元素5没出现在序偶的第一元素中，f2中A的元素4出现在两个不同序偶的第一元素中。,2018年10月14日,5,函数与关系的差别,2018年10月14日,6,如果记由此可以知道，函数确是一种特殊的关系，它与一般
4、关系比较具备如下差别： (1)AB的任何一个子集，都是A到B的二元关系，因此，从A到B的不同的关系有2|A|B|个；但从A到B的不同的函数却仅有|B|A|个。 (2)每一个函数的基数都为|A|个，但关系的基数却可以从零一直到|A|B|。 (3)每一个函数中序偶的第一个元素一定是互不相同的。,函数与关系的差别,例6.2 设Aa,b，B1,2，AB,， 此时从A到B的不同的关系有2416个。分别如下： R0； R1；R2；R3； R4； R5,；R6,；R7,； R8,； R9,； R10,； R11,； R12,； R13,；,2018年10月14日,7,函数与关系的差别,R14,； R15,。
5、从A到B的不同的函数仅有224个。分别如下： f1,；f2,； f3,；f4,。 常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA：BAf|f：AB,2018年10月14日,8,函数的复合运算,定义6-1.2 设f和g：XY是两个函数，如果对xX ,都有f(x)=g(x), 则称f与g相等，记为 f=g。 定义6-1.3 设f：XY，g：YZ是两个函数，称g f=（yY）y=f(x) z=g(y)称为函数f与g的复合函数，记为g f ：XZ。(g f)（x）=g（f（x） 函数复合的性质 1)函数复合是可结合的(关系的复合是可结合的) 2)函数复合一般是不可交换的,2018年10月14日,9,由于历史
6、的原因，函数f和g的复合记成了gf的形式，与关系的复合记法相反,单射 、满射和双射,定义6-2.1 设f是从X到Y的函数，若f满足： 对任意x1,x2X，若x1x2，则f(x1)f(x2)，则称f为从X到Y的单射或1-1映射； 若ranfY，则称f为从X到Y的满射或从X到Y上的映射； 若f既是从X到Y的满射，又是从X到Y的单射，则称f为从X到Y的双射或一一对应的映射。 若XY，则称f为X上的函数；当X上的函数f是双射时，称f为X上的变换。 若XY，且对任意xX,f(x)x,则称f为X上的单位（恒等）函数，记为IX。 若存在bY，且对任意xX,f(x)b,则称f为X上的常值函数。,2018年10
7、月14日,10,单射 、满射和双射,2018年10月14日,11,例6.3 确定如下关系哪些关系是函数，若是函数，是否是单射、满射、双射。 1) 设A1,2,3,4,5,Ba,b,c,d,e。 f1,； f2,； f3,； f4,。 2) 设ABR(实数集合)。 f1(x)x2； f2(x)x+1；f3(x)1/x；f4(x)ex； f5(x) 。 3) 若AR+，BR。f(x)lnx。,单射 、满射和双射,解： 1) f1为从A到B的双射； f2，f3为非函数； f4为从A到B一个函数。 2) f1为从R到R的函数； f2为从R到R的双射函数； f3不是从R到R的函数(因为0domf3)；
8、f4为从R到R的单射函数； f5不是从R到R的函数(因为domfR+R)。 3) f为从R+到R的双射函数。,2018年10月14日,12,置换,2018年10月14日,13,定义6-2.2 设A是有限集合，A=a1,a2,an。从A到A的双射函数称为A上的n阶置换或排列，记为 ：AA，n称为置换的阶。常表示为：A上的每一个置换结果都得到A中元素的一种排列。 A上的n阶置换的数目为n!。把每个元素映射到自身的置换称为单位(恒等)置换。,置换,例6.3 集合A=1,2,3上的置换共有6个:第一个为单位置换。,2018年10月14日,14,循环,假设：AA为n阶置换，A=a1,a2,an。对aiA
9、，考虑序列ai，(ai), 2(ai), 由于a1,a2,an是有限集，序列中一定会有重复出现的项。存在最小正整数t，使得k(ai)= t(ai) 其中0ktn。用0(ai)记ai，令ri=t-k，则ri(ai)=ai（1rin）。 上述序列呈周期性变化： ai,(ai),2(ai),ri-1(ai), ai,(ai),2(ai), ri-1(ai), ai, (ai), 2(ai), ri-1(ai) 其中ai, (ai), 2(ai), ri-1(ai)互不相同，写成 (ai, (ai), 2(ai),)，称之为阶ri的一个循环。,2018年10月14日,15,循环,当rin时，至少有一个
10、ajA不包含在上述循环中。对aj重复与ai相同的过程得到(aj, (aj), 2(aj),rj-1(aj)。如ai的循环与aj的循环中没有相同的元素时，称它们 不相交。继续这个过程，A=a1,a2,an可以被分成若干子 集，这些子集组成不同循环。一般是如下形式 (ai, (ai), ri-1(ai),(aj, (aj), rj-1(aj), ,(am, (am), rm-1(am)。这样置换就可以表示成循环的积。 如果 (ai)=ai,则 (ai, (ai)）可以省略不写； 单位置换可表示成一个元素1构成的循环（1）。,2018年10月14日,16,例6.4,设,2018年10月14日,17,
11、则：,单射、满射和双射的复合运算,定理6-2.1 设f和g分别是X到Y和从Y到Z的函数，则：1)如f,g是满射，则gf也是从X到Z的满射；2)如f,g是单射，则gf也是从X到Z的单射；3)如f,g是双射，则gf也是从X到Z的双射。 证明 1) 对任意cZ，由于g是满射，所以存在bY，使得g(b)c。 对于bY，又因f是满射，所以存在aX，使得f(a)b。 从而有g(b)g(f(a)gf (a)c。 即存在aX，使得：gf (a)c，所以gf是满射。,2018年10月14日,18,按定义证明,单射、满射和双射的复合运算,2）对任意a1,a2X，a1a2，由于f是单射，所以f(a1)f(a2)。令
12、b1f(a1)，b2f(a2)，由于g是单射,所以g(b1)g(b2)，即g(f(a1)g(f(a2)。从而有g f (a1)g f (a2)，所以g f是单射。 3）是1),2)的直接结果。,2018年10月14日,19,逆函数,定义6-2.3 设f：XY是一个函数，如果存在一个函数g：YX ，使得(x)(gf)(x)=x(y)(fg)(y)=y,则称g是f的逆函数，记为f-1。 例6.5设f：RR,满足： 1）f|xR； 2）f|xR。求f-1。 解 1）对任意xR，有f(x)x2(-x)2=f(-x) ，所以f不是单射函数，即f非双射函数，因此f的逆函数不存在。 2）因f是双射函数，所以
13、f-1存在，且有： f-1|xR。,2018年10月14日,20,逆函数,定理6-2.2 函数f存在逆函数当且仅当f是双射。 证明： f为从X到Y的双射，根据定义，对每个yY,有且仅有一个xX 使得f(x)=y。因此可定义一个映射g:XY，使得 g(y)=x, 所以 对xX 都有(gof)(x)=x ，对yY 都有(fog)(y)=y ，由逆函数的定义，g是f的逆函数。 反之，如果f有逆函数f-1，对yY ，有f(f-1(y)=y。 令 x=f-1(y),则 f(x)=y, 即f是满射。 又设 s,tx 使得 f(s)=f(t), 则 f-1(f(s)= f-1(f(t)，即s=t， f是单射。,2018年10月14日,21,逆函数,定理6-2.3 若f：X Y，g：Y Z且f和g都是可逆的，则（gof)-1 =f1og1函数f与f1的关系 （1）若f：X Y是一个双射函数，则f1也是一个双射函数，且有 f1：Y X （2）如果函数f是可逆的，则f1of=Ix，fof1 = Iy （3）如果f是双射函数则（f1)1=f （4）如果f：X Y，g：Y X，gof=Ix，fog=Iy 当且仅当 g=f-1。,2018年10月14日,22,习题,习题6 6，7，8，10，12，14，15,2018年10月14日,23,
