第 3 节 平面曲线的弧长,平面曲线的弧长,一、平面曲线弧长的概念,曲线可求长的充分条件定理,结论：光滑的曲线弧是可求长的。,曲线“光滑”是指具有连续导数。具体地：,（1）如果曲线方程是由,给出，,则该曲线光滑是指：,（2）如果曲线是由参数方程,则该曲线光滑是指：,注意,（3）若曲线是由极坐标给出,那么，曲线光滑是指函数,以下，我们分别就（1）、（2）、（3）这三种情况来讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长。,弧长元素,弧长,一、直角坐标的情形,解,所求弧长为,例 2 计算曲线,的一段弧的长度。,解：,解,曲线弧为,弧长,二、参数方程的情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,例 6 在摆线,上求分摆线第一拱为1：3的点的坐标。,解：,设在摆线上所求,点为,则由已知有,代入方程得,求出两边定积分并整理得,所以得出：,进而求得M的坐标为,曲线弧为,弧长,三、极坐标情形,解,解,例7,求曲线,上相应于,解：由已知可得,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,小 结,思考题,不一定仅仅有曲线连续还不够， 必须保证曲线光滑才可求长,思考题解答,
