1、第五章 大数定律和中心极限定理,第一节 大数定律 第二节 中心极限定理,The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem,第一节 大数定律,对任给0，当n充分大时， 很小. 即无论给定多么小的正数，事件 是可能发生的，但是当n充分大时，出现这种偏差的可能性很小. 因此，当n充分大时，我们有很大的把握保证 Xn很接近于a.,The Law of Large Numbers,Note: Xn依概率收敛于a的直观解释：,Note: 证明之前，我们先回顾一下Chebyshev不等式吧：,Note: Chebyshev大数定律应用非常广泛，许多
2、大数定 律均可看作其特殊情况（如下的Bernoulli大数定律），而且方差不存在时结论也成立（如辛钦大数定律）：,Note: (1) Bernoulli大数定律1713年面世，它以严格的数 学形式表达了频率的稳定性. 即当n充分大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，亦即,Note: 辛钦大数定律与Chebyshev大数定律的区别在于,辛钦大数定律不要求随机变量序列X1 , X2, 的方差存在，但要求其同分布.,Note: (2) Bernoulli大数定律是概率论中用事件发生的频率来代替事件发生概率的理论基础(实际推断原理).,第二节 中心极限定理,The Central Lim
3、it Theorem,Note: 1. Lindeberg极限定理表明：无论随机变量序列Xn服从什么分布，只要满足此定理的条件，Yn的极限分布就是N(0,1)分布.即n充分大时，有,2. Yn的分布趋近于正态分布的速度与Xn本身分布有关， Xn与正态分布的差异越大，速度越慢.一般来说，n30时应用此定理的效果较好.,3. 将此定理应用到n重Bernoulli试验，有下述定理:,Note: 1. 此定理表明：二项分布的极限分布是正态分布.,独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在30到40点之间的概率,某单位有260部电话，每部电话约有4%的时间使用外线通话.设每部电话是否使用外线通话是相互独立的
4、，问该单位总机至少要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每部电话需要使用外线通话时可以打通？,设至少需要安装n条外线，由题知,故由中心极限定理有,（续例2 ）,本章小结,一、知识小结 二、典型习题,知识小结,一. 大数定律,意义：,深刻地揭示了随机事件的概率与频率之间的关系，因此是概率论的重要理论基础. 大数定律从大量测量值的平均值出发，讨论并反映了算术平均值及频率的稳定性.,虽然条件各不相同，但结论是一致的：从理论上肯定了用算术平均值代替均值，以频率代替概率的合理性. 既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.,知识小结,二. 中心极限定理,意义：,
5、正态分布是概率论中重要分布之一，是现实生活和科学技术中使用最多的一种分布，也是数理统计的重要假设. 许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们共同作用下形成的随机变量的极限分布是正态分布. 中心极限定理阐明了在什么条件下，原本不属于正态分布的一些随机变量的总和渐进服从正态分布.,三. 大数定律与中心极限定理的异同,同：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机 变量序列.,异： 大数定律是研究随机变量序列Xn依概率收敛的极限问题;中心极限定理是研究随机变量序列Xn依分布收敛的极限定理.,一. 要求会做的习题,习题册+课后习题 课后习题：P132: ex.2, 3-7,Note：应用中心极限定理的关键是，由所给条件构造一个独立同分布的随机变量序列，使其具有有限的期望和方差，然后将其前n项的和标准化，即可应用中心极限定理.,典型习题,二. 典型习题讲解,例1：(P132 Ex.6） 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1 (元)，1.2 (元),1.5 (元)各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5. 若售出300只蛋糕，求:(1) 收入至少为400元的概率； (2) 出售价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率.,典型习题,（续例1 ）,典型习题,
