1、二、 随机现象,四、 小结,一、 概率论的诞生及应用,三、 随机试验,第一节 随机试验,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,一、概率论的诞生及应用,1. 概率论的诞生,2. 概率论的应用,概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性
2、、分辨率等等.,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,二、随机现象,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,2. 随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发
3、, 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.,实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随
4、机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.,定义,三、随机试验,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”.,分析,2. 随机试验通常用 E 来表示.,(
5、1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(2) 试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数.,4. 考察某地区 10 月份的平均气温.,5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,四、小结,随机现象的特征:,1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果.,2. 随机现象是通过随机试验来研究的.,(1) 可以在相同的条件下重复地
6、进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.,随 机 试 验,一、样本空间 样本点,三、随机事件间的关系及运算,二、随机事件的概念,四、小结,第二节 样本空间、随机事件,问题 随机试验的结果?,定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S .,样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为 样本点.,实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.,一、样本空间 样本点,实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情
7、况.,实例4 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,实例5 考察某地区 12月份的平均气温.,实例6 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.,实例7 记录某城市120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.,课堂练习,2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空 间也不同.,例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为,若观察出现正面的次数 , 则样本空间为,说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不
8、同.,随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.,试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”,“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.,1. 基本概念,二、随机事件的概念,2. 几点说明,例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,可设 A = “点数不大于4”,B = “点数为奇数” 等等.,随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件,(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事
9、件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,1. 包含关系,若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,则称事件 B 包含事件 A,记作,实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,所以“产品不合格”,包含“长度不合格”.,图示 B 包含 A.,S,B,三、随机事件间的关系及运算,2. A等于B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B.,3. 事件 A 与 B 的并(和事件),实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件 A 与 B 的并.,S,A
10、,4. 事件 A 与 B 的交 (积事件),图示事件A与B 的积事件.,S,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,和事件与积事件的运算性质,5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相 容, 即,实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面”是互不相容的两个事件.,6. 事件 A 与 B 的差,由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.,图示
11、A 与 B 的差.,S,A,B,实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合格”与 “直径合格” 的差.,设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现” 称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,S,B,若 A 与 B 互逆,则有,7. 事件 A 的对立事件,对立事件与互斥事件的区别,S,S,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,事件间的运算规律,例1,解,例2,如图所示的电路,这一事件,将电器接点,闭合,又可得,一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,三、小结,第三节 频率与概率,1. 定义,一、
12、频率的定义与性质,2. 性质,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,从上述数据可得,(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.,(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的f 不一定相同;,重要结论,频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上
13、反映 了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的 概率,医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”,医生的说法对吗?,请同学们思考.,1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.,二、概率的定义与性质,概率的可列可加性,1. 概率的定义,2. 性质,解,2. 概率的主要性质,三、小结,一、等可能概型,二、典型例题,三、几何概率,四、小结,第四节 等可能概型(古典概型),1. 定
14、义,一、等可能概型(古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3. 古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种
15、,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1
16、至第4个杯子各放一个球的概率为,解,二、典型例题,例2,一只口袋装有6只球,其中4只白球、2只,红球.,从袋中取球两次,(a) 第一次取一只球,放回袋中,抽样.,(b) 第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球,(1) 取到的两只球都是白球的概率;,(2) 取到的两只球颜色相同的概率;,种取球方式:,试分别就上面两种情况求,考虑两,观察其颜色后,第二次从剩,这种取球方式叫做不放回抽样.,每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回,搅匀后再取一球.,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.,(a) 放回抽样的情况.,解,事件“取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都,都是红球”,“取到的两只球
17、中至少有一只是白球”.,在袋中依次取两只球，,每一种取法为一个基本,事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且,由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而,可利用(4.1)式来计算事件的概率.,第一次从袋中取球有6只球可供抽取,第二次,也有6只球可供抽取.,由组合法的乘法原理,一共有,对于,由于第一次共有4只白球可供抽取,第,二次也有4只白球可供抽取,则由乘法原理总共有,同理,于是,得,(b) 不放回抽样.,由读者自己完成.,例3,试求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).,解,因每一只,故共有,而每个盒子,不同放法.,因而所求的概率为,说明：许多问题和本例有相同数学模型.,生日问题
18、,假设每人的生日在一年365天中任一天是等可,能的,即都等于1/365,他们的生日各不相同的概率为,因而,生日问题,我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:,64 个人的班级里，生日各不相同的概率为,至少有2人生日相同的概率为,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例5,袋中取一只球,(1) 作放回抽样;,(2) 作不放回抽样,解,(1) 放回抽样的情况,显然有,(2) 不放回抽样的情况.,各人取一只球,每种取法是,一个基本事件.,且由于对称性知每个基本事件,发生的可能性相同.,是白球,共有,种取法,故根据,
19、(4.1)式得到,尽管,取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样,的,大家机会相同,(例如在购买福利彩票时,各人得,奖的机会是一样的).,另外值得注意的是放回抽样与,例6,在12000的整数中随机地取一个数,问,取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率,是多少?,解,事件“取到的数能被8整除”,则所求概率为,由于,故得,由于,故得,又由于一个数同时能被6与8整除,就相当于能被24,整除,因此,由,得,于是所求概率为,例7,将15名新生随机地平均分配到三个班级,中去,这15名新生中有3名是优秀生.,问,(1) 每个班,级各分配到一名优秀生的概率是多少?,(2) 3名优秀,生分配在同一班
20、级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法,总数为,每一种分配法为一基本事件,且由对称性易知每个,基本事件发生的可能性相同.,(1) 将3名优秀生分配到三个班级使每个班级,都有一名优秀生的分法共3!种.,对于这每一种分法,其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有,因此,每一班级各分配到一名优秀生的,于是所求概率为,因此3名优秀生分配在同一班级的分法有,(2) 将3名优秀生分配在同一班级的分法共有3,种.,对于这每一种分法,其余12名新生的分法共有,所求概率为,例8,某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问,是否可以推断接待时间是有规
21、定的?,解,假设接待站的接待时间是没有规定,而各,来访者在一周的任一天中去接待站的是等可能的,那么,12次接待来访者都在周二、周四的概率为,小的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理由怀,疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待,来访者,即认为其接待时间是有规定的.,人们在长期实践中总结得到“概率很小的事在,一次试验中实际上几乎是不发生的”,现在概率很,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果 连续无穷,四、小结,一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,第五节 条件概率,将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面
22、”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.,分析,事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为,1. 引例,一、条件概率,同理可得,为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,2. 定义,3. 性质,例2,一个盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品.,从中取产品两次,每次任取一只,作不,放回抽样.,试求条件概,解,易知此属古典概型问题.,将产品编号,1,2,3,号为一等品;,4号为二等品.,间为,第,由定义,得条件概率,故可得,例 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一
23、个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少?,设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有,解,二、 乘法定理,例3,每次自袋,中任取一只球,观察其颜色然后放回,与所取出的那只球同色的球.,若在袋中连续取球四,次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白,球的概率.,解,所求概率为,例4,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下,时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次,落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三,次落下打破的概率为9/10.,试求透镜落下三次而未,打破的概率.,解,打破”.,故有,另解,按题意,故
24、有,即有,五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字，三个阄内不写字，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,1. 样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式,2. 全概率公式,全概率公式,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例5,有一批同一型号的产品，,已知其中由一,厂生产的占 30%，,二厂生产的占 50%，,三厂生产的,的占 20%，,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率,
25、是多少?,解,设事件 A 为“任取一件为次品”,30%,20%,50%,2%,1%,1%,由全概率公式得,称此为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,贝叶斯资料,例6,某电子设备制造厂所用的元件是由三家,元件制造厂提供的.,根据以往的记录有以下的数据,设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区,别的标志.,(1) 在仓库中随机地取一只元件,求它是,次品的概率;,(2) 在仓库中随机地取一只元件,若已,知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出,此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.,试求这,些概率.,解,而且有,易知,(1) 由全概率公式,(2) 由贝叶斯公式,以上结果表明,这只次品来自第2家工
26、厂的可能性,最大.,例7,对以往数据分析结果表明,当机器调整良,好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故,障时,其合格率为55%.,每天早上机器开动时,机,器调整良好的概率为95%.,试求已知某日早上第一,件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?,解,调整良好”.,已知,由贝叶斯公式,这就是说,当生产出的第一件产品是合格品时,此,时机器调整良好的概率为0.97.,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.,先验概率与后验概率,例8,根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试,验具有如下效果:,现在对自然人群
27、进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,解,由贝叶斯公式,本题结果表明,这两个概率都比较高.,但若将此试验用于普查,则有,亦即正确性只有8.7%.,如果不注意,这一点,将会得出错误的诊断.,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,一、事件的相互独立性,二、几个重要定理,三、例题讲解,四、小结,第六节 独立性,一、事件的相互独立性,则有,1.引例,事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,说明,2.定义,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.,两事件相互独立与两事件互斥的关系.,请同学们思考
28、,由此可见两事件互斥但不独立.,3.三事件两两相互独立的概念,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,4.三事件相互独立的概念,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,推广,证明,二、几个重要定理,证明,又因为 A、B 相互独立, 所以有,解,事件 B 为“击落飞机”,三、例题讲解,例1,观察正反,面出现的情况”.,由题意,甲币是否出现正面与乙币是否出现,正面是互不影响的.,例2,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为,元件(或系统)的可靠性.,如下图,设有4个独立工作,的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接.,试求系统的可靠性.,故有,由事件的独立性,得系统的可靠性,解,工作”
29、,系统由两条线路I和II组成.,当且仅当至少有一,条线路中两个元件均正常工作时,系统才正常工作,例3,要验收一批(100件)乐器.,验收方案如下:,自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试,是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被,认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.,设一件,音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率,为0.95;,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯,的概率为0.01.,如果已知这100件乐器中恰有4件是,音色不纯的.,试问这批乐器被接收的概率是多少?,已知一件音色纯的乐器,经测试被认为音色纯的概,率为 0.99,而一件音色不纯的乐器,经测试被认为,音色纯的概率为0.05,并且三件乐器的测试是相互,独立的,于是有,解,故,而,例4,甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的,问对甲而言,采取三局两胜制有,利,还是五局三胜制有利.,设各局胜负相互独立.,解,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;,补充例题,四、小结,
