1、1,概率论与数理统计,(十五)开始 王柱 2013.04.29,2,定义: 设X是具有分布函数F的随机变量。若X1,X2, Xn是相互独立且具有同一分布的n个随机变量,则称X1,X2,Xn为从分布函数F(或总体F 、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.它们的观察值x1,x2,xn称为样本值,又称为X的n个独立观察值.,第六章 样本及抽样分布,随机样本,总体均可视为无限总体; 抽出的部分(n个)个体为一个样本,亦视为有放回抽取; 保证抽样为独立、同分布的随机样本 其个数为样本容量。,3,定义 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,若g是连续函数且g中不含任何未知参数,则称 X1
2、,X2,Xn的函数g(X1,X2,Xn )是一个统计量.又设x1,x2,xn是相应于X1,X2,Xn的样本值, 则称g(x1,x2,xn )为g(X1,X2,Xn ) 的观察值., 抽样分布,统计量是样本的函数,它是一个随机变量. 统计量的分布称为抽样分布.,4,定义 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,xn是相应于X1,X2,Xn的样本观察值.,6.1 几个常用的统计量,样本平均值:,样本方差:,样本标准差:,5,样本k阶(原点)矩:,样本k阶(中心)矩:,6,这几个常用统计量的观察值为,样本平均值的:,样本方差的:,样本标准差的:,样本k阶(原点)矩的:,样本k阶(中心)
3、矩的:,7,我们指出:若总体X的k阶矩存在,记为E(Xk)= k ,则当 n 时（辛钦定理）,进而，对于连续函数g(x1,xk)，由依概率收敛序列的性质知,8,记 是上述样本的一组观察值，将其各个分量 按照大小递增的次序排列，得到：。,当 取值 时，定义 取值 ，由此得到的 或它们的函数都称为顺序统计量。,顺序统计量（与样本分布函数）,9,（1）样本中位数（Sample Median）：,（2）样本极差（Sample Range）：,较常用的顺序统计量有：,10,（3）记,显然， ，它作为 的函数具有一个 分布函数所要求的性质，故称为总体 的样本分布函 数或经验分布函数 。,11,是样本的函数
4、，它是一个随机变量。,即， 几乎处处一致收敛到 。,的值表示在 次重复独立试验（ 次 抽样）中，事件 发生的频率。 因此， 。其中 。,12,6.3.3 2分布,为服从自由度为 n 的 2 分布,记为2 2(n),设X1,X2,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量,演示16！,* 6.2 几个常用的分布,13,(一) 2(n)分布的概率密度为,(1),(5),(15),14,由于,由独立性有,X N(0,1), 因此2(1)=X2的期望、方差为,15,6.3.4 t分布,为服从自由度为 n 的 t 分布,记为t t(n),设 X N (0,1) , Y 2(n) , X 与 Y 相互独
5、立. 则称统计量,t 分布,又称为学生氏(Student)分布.,演示27！,16,服从自由度为 n 的 t(n)分布的概率密度为,(1),(200),(4 ),17,若 ，则,的图形关于纵轴对称。,18,6.3.5 F分布,为服从自由度为 (n1,n2) 的 F 分布,记为F F(n1,n2). 显然,设 U 2(n1), V 2(n2) , U 与 V 相互独立. 则称统计量,演示25！,19,F(n1,n2)分布的概率密度为,(5,10),(10,5),(10,25),可以得出:,21,6.3.6 正态总体的样本均值与样本方差的分布,设X1,X2,Xn是来自正态总体X的样本, 由独立性,
6、则总有,进而 X N(, 2),6.3 几个常用的有关抽样分布的定理,22,定理6.3.1 设 是来自总体 的样本， 是样本均值，则有：,在大样本场合下，无论总体服从何种分布，只要 均值和方差存在，也有,23,6.3.2 顺序统计量的分布,证明略。,定理6.3.2 设 是总体 的概率密度函数，是来自总体的简单随机样本，是它的一个顺序统计量，则其联合概率密度函数为,24,其中， 。,对于样本中位数和样本极差，我们也可以给出它们的概率密度函数，分别为,25,定理6.3.3 ：,设X1,X2,Xn是来自总体X的样本,为样本均值和方差,则有,1.,2.,(证明略),26,定理6.3.4 ：,设X1,X
7、2,Xn是来自总体N(, 2)的样本,为样本均值和方差,则有,由t分布的定义得:,证明：已有,27,定理6.3.5 (1)：,设X1,X2,Xn1与Y1,Y2,Yn2分别是来自具有 相同方差的两正态总体N(1, 2), N(2, 2)的样 本,且这两个样本相互独立.这两个样本的均值为,这两个样本的方差为,则有,28,证明：,易知,由给定条件知,且相互独立,则有,和,由附录及t分布的定义得:,顺便得:,29,定理6.3.5 (2)：,设X1,X2,Xn1与Y1,Y2,Yn2分别是来自具有相同方差的两正态总体N(1, 2), N(2, 2)的样本,且这两个样本相互独立.这两个样本的均值为,这两个样
8、本的方差为,则有,30,(1) 分布的上 分位点,则称 为该分布的上 分位点. 如:正态分布 、t 分布、 2分布、 F 分布、.等的上 分位点. 请注意：,设 X为一个随机变量,其分布为F,对任意0 1, 若 满足条件,* 6.4 分布的分位（数）点,31,标准正态分布的概率密度函数图为,32,(2) 分布的下 分位点,则称 为该分布的下 分位点. 如:正态分布 、t 分布、 2分布、 F 分布、.等的下 分位点. 请注意：,设 X为一个随机变量,其分布为F,对任意0 1, 若 满足条件,33,的 为 分布的（下）分位点.,对于给定的正数，0 1 满足条件,34,的 为 分布的（下）分位点.
9、,对于给定的正数，0 1 满足条件,如图所示：,35,(3) 对称分布的 双侧分位点,则称 为该分布的双侧 分位点。 如:正态分 布 、 t 分布、 .等的双侧 分位点。请注意：,设 X为一个随机变量,其分布密度为对称的,对任意0 1,若 满足条件,36,注意，标准正态分布的 分位点， 本书记为 。,还要注意 本书记号有 。,37,正态分布N(0,1)的下、(上) 分位点记为:,t (n)分布的下、(上) 分位点记为:,2(n)分布的下、(上) 分位点记为:,F (n1,n2)分布的下、(上) 分位点记为:,38,由对称性得,2。对于n45的 分布的（上）分位点由下式近似得到,u1-为标准正态
10、分布的（上）分位点.,1。正态分布的（上）分位点可查附表2.,39,3。 为 分布的下分位点.,对于n45的 分布的（下）分位点由下式近似 得到,u为标准正态分布的下分位点.,4。对于 分布的下分位点可查附表5. 表中无有的可由右式得出:,40,举例,1。正态分布的（上）分位点可查附表2。(p326),41,2。对于n=45的 分布的（上）分位点可查附表3; (p327),42,对于n45的 分布的（上）分位点由下式近似得到,其中 u1-为标准正态分布的（上）分位点.,43,3。 为 分布的下分位点.,对于n=45的 分布的（下）分位点可查附表4. (p328-329),44,对于n45的 分布的（下）分位点由下式近似 得到,其中，u为标准正态分布的下分位点.,45,4。对于 分布的下分位点可查附表5. (p330-338),表中无有的可由右式得出:,46,概率论与数理统计,(15)结束,作业: 习题六的 11, 12, 14,演示14！,演示16！,47,11,48,12,49,14,再见,50,99-9-28, ,！#￥%*（）+|“：？！￥（）、。，；。,
