1、第1篇 数理逻辑 第2篇 集合论 第3篇 代数结构 第4篇 图论,第2篇 集合论,当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候如果能通过连续的不间断的思考活动，把几个定理贯穿起来，悟出它们之间的相互关系，并能同时尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是很有益的。照这样我们的知识无疑会增加，理解能力会有显著的提高。笛卡尔,第2篇 集合论,第3章 集合及其运算 第4章 关系 第5章 函数 第6章 基数 第7章 集合论的发展与应用 命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑的基础部分,第2篇 集合论,第4章 关系 4.1 关系的概念及性质 4.2 关系的运算 4.3 等价关系、等价类与划分 4.4 相容关系、相容
2、类与覆盖 4.5 偏序关系 4.6 典型例题解析,第4章 关系,在普通生活中常见的许多粗劣的思维方式，可以通过学习数学来改善。有一种几乎是普通的，引起误解的假设，认为事物必须按线性次序排列，这种假设可以通过学习偏序来解除。Cambridge Report,第4章 关系,本章的主要内容:关系的概念及性质、关系的运算、等价关系、等价类与划分、相容关系、相容类与覆盖、偏序关系,4.1.1关系的概念 在众多的关系中，最基本的是涉及两个事物之间的关系， 即二元关系。 定义4.1 设 A 与 B 是任意两个集合，一个从 A 到 B 的二元关系是 AB（即 A 与 B 的笛卡尔积）的一个子集。即若 R 是集
3、合 A 与 B 之间的一个二元关系，则 R AB。 若 aA、bB、a,bR，则称 a 与 b 之间有关系 R，记为 aRb。相反，若 a,bR，则称 a 与 b 之间没有关系 R，记为 a b。若 AB，则称 R 是 A 上的二元关系。若 RAB，则称 R 是 A 到 B 的全域关系；若 R，则称 R 是 A 到 B 的空关系。,4.1 关系的概念及性质,【例4.1】若 A1, 2, 3, 4，B0, 1, 2，它们之间的一个关系R2,2, 3,1, 4,0。定义4.2 若 R 是一个从集合 A 到集合 B 的二元关系，R 的定义域 dom(R) 定义为：dom(R)x|xA 且存在 yB
4、满足 x,yR；R 的值域 ran(R) 定义为：ran(R)y|yB 且存在 xA 满足 x,yR；R 的定义域和值域一起称作 R 的域，定义为：FLD(R)dom(R)ran(R)。根据该定义，可将关系 R 看作 FLD(R) 上的关系。,【例4.2】在例4.1中，对关系 R 而言，dom(R)2, 3, 4，ran(R)2, 1, 0，FLD(R)2, 3, 4, 1, 0。 将二元关系扩展到 n 元关系，其定义如下： 定义4.3 设 A1, A2, , An 是 n 个集合，A1A2An 的任一子集，都称为 A1, A2, , An 间的一个 n 元关系。即若 R 是 A1, A2,
5、, An 间的一个 n 元关系，则 R A1A2An。,4.1.2 关系的表示方法 关系是定义的序偶的集合：即关系也是一种集合，所以集合的各种表示方法也适用于关系。另外，关系还有矩阵表示法和图形表示法。 1. 关系的矩阵表示法 若 R 是一个从集合 A 到集合 B 的二元关系，则它的矩阵表示 MR 是一个 |A|（集合 A 的元素个数）行、|B| 列的矩阵。设集合 Aa1, a2, , am、Bb1, b2, , bn，那么矩阵 MR 的元素定义如下：1 若 ai R bjMR 其中1im, 1jn0 若 ai bj称 MR 是 R 的关系矩阵。,【例4.3】设 A1, 2, 3, 4，定义
6、A 上的二元关系 R： a, bR，当且仅当ab。请枚举出 R 的各元素，且给出其关系矩阵。解：R 的各元素为 1,2, 1,3, 1,4,2,3, 2,4, 3,4，记 ai i，其关系矩阵为0 1 1 1 0 0 1 10 0 0 10 0 0 0,2 关系的图形表示法设集合 Aa1, a2, , am、Bb1, b2, , bn，R 是从 A 到 B 的二元关系，它的图形 GR 表示为：顶点有 (nm) 个、分别标记为 a1, a2, , am 和 b1, b2, , bn，若 ai R bj，则从顶点 ai 到顶点 bj 有一条有向边。【例4.4】设有 6 个程序 p1, p2, p3
7、, p4, p5, p6，它们之间有一定的调用关系R：p1Rp2、p3Rp4、p5Rp2、p2Rp6、p3Rp1则关系 R 是集合 Pp1, p2, p3, p4, p5, p6 上的二元关系，Rp1, p2, p3, p4, p5, p2, p2, p6, p3, p1,p4,p6,p1,p3,p5,p2,Rp1, p2, p3, p4, p5, p2, p2, p6, p3, p1,4.1.3 关系的性质主要研究二元关系。可以很容易地将二元关系的性质推广到 n 元关系上。定义4.4 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对每一个xX、都有 xRx，则称关系 R 是自反的。即：X 上的二元
8、关系 R 是自反的 (x)(xXxRx)定义4.5 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对于任一 xX、都有 x,xR，则称关系 R 是反自反的。即： X 上的二元关系 R 是反自反的 (x)(xXx x),【例4.5】设 R 是整数集合上的 “小于或等于” 关系，则 R 是自反的，因为对任意整数 x，都有 xx 成立。若 R 是整数集合上的 “小于” 关系，则 R 是反自反的，因为对任意整数 x，都有 xx 都不成立。 注意: 若一个关系不是自反的，并不意味着它一定是反自反的。【例4.6】设集合 X1, 2, 3, 4，其上的关系 R1,1, 1,3, 2,4，显然该关系既不是自反的也不
9、是反自反的。,定义4.6 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对于任一对 x,yX、只要有 x,yR 就有 y,xR，则称 R 是对称的。即：X 上的二元关系 R 是对称的 (x)(y)(xXyXx,yRy,xR)定义4.7 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对于任一对 x,yX，只要有 x,yR 就有 y,xR，则称 R 是非对称的。即：X 上的二元关系 R 是非对称的 (x)(y)(xXyXx,yRy,xR),定义4.8 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对于任一对 x, y X，只要有 x,yR 和 y,xR，就有 xy，则称 R 是反对称的。即：X 上的二元关系 R 是
10、反对称的(x)(y)(xXyXx,yRy,xRxy)从上边的定义可以看出：凡具有非对称的关系一定是反对称的，但反对称的关系不一定是非对称的；一个关系可能同时既是对称的又是反对称的；也可能既不是对称的也不是反对称的。,【例4.7】一个街道上的 “邻居” 关系是对称的；人与人之间的 “母女” 关系是非对称的；实数集合上的 “小于或等于” 关系是反对称的。 定义4.9 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对于任意的 x, y, zX，只要有 x,yR 与 y,zR，就有 x,zR，则称 R 是传递的。即：X 上的二元关系 R 是传递的 (x)(y)(z)(xXyXzXx,yRy,zRx,zR),
11、【例4.8】给定集合 S1, 2, 3, 4，并且有 S 中的关系R1,2, 2,1, 2,2, 3,1 请判断关系 R 是否传递。 解：在关系 R 中，因为 1R2 且 2R1，若 R 是传递的，应有 1R1，即 1,1R，但 1,1R，所以关系 R 不是传递的。,定义4.10 设 R 是集合 X 上的一个二元关系，若对于任一对 x, yX，xRy、xy、yRx 三者中至少有一个成立，则称 R 是连接的。即：X 上的二元关系 R 是连接的 (x)(y)(xXyXxRyxyyRx)【例4.9】给定集合 Sa, b, c，其上的关系Ra,b, b,c, c,a请判断关系 R 是否是连接的。 解：
12、根据关系是连接的定义我们可以判断出关系 R 是连接的。,定义4.11 设 I 是集合 X 上的一个二元关系，若 Ix, x | xX，则称 I 是 X 上的恒等关系，一般将 I 记作 IX。根据上面定义的关系的一些性质及例题，读者也许会疑问：判断给定的集合上的某个关系是否具有某个特定的性质时，只能如上面的那些例题那样根据定义对关系中的元素一个一个的检查吗？当然，当关系中元素的个数较少时，这种方法是行的通的，但当关系中元素的个数稍微大点时，采用这种方法是一件很枯燥、很烦琐的事情。,关系的矩阵表示法和图形表示法与关系的性质有以下联系：(1) 关系 R 是自反的当且仅当在表示图中每个节点都有圈；在其
13、对应的关系矩阵中主对角线上所有元素均为 1。(2) 关系 R 是非自反的当且仅当表示图中每个节点都没有圈；在其对应的关系矩阵中主对角线上所有元素都为 0。(3) 关系 R 是对称的当且仅当表示图上若存在有向边 x,y，则必存在有向边 y,x ；对应的关系矩阵是以主对角线为对称轴的对称矩阵。(4) 关系 R 是反对称的当且仅当在表示图中任二个不同结点 x、y 间最多只有 x,y 及 y,x 中的一条边出现而不能二者同时有；关系矩阵中关于主对角线对称位置上的元素不能同时为 1；主对角线上可以为 1。,(5) 关系 R 是非对称的当且仅当表示图中任二个不同结点 x、y 之间最多只有一条有向边出现，不
14、能 x,y与 y,x 同时出现，且每一结点都没有圈；对应的关系矩阵中主对角线元素全为 0，关于主对角线对称位置上的元素不同时为 1。(6) 关系 R 是传递的当且仅当表示图中任三个结点间若存在有向边 x,y 和 x,z 则一定存在有向边x, z；对应的关系矩阵中若有MRij1MRjk1，则必有 MRik1。(7) 关系 R 是连接的当且仅当表示图中每两个不同的结点之间至少有一条有向边；对应的关系矩阵中 MRij 和有 MRji 至少有一个等于 1。,注意：空关系是一个特殊的关系，关于空关系我们有以下性质：空集合上的空关系是自反的、对称的、反对称的和传递的；但非空集合上的空关系是对称的、反对称的和传递的。,
