1、第五章，线性微分方程组,续,5.3.2 基解矩阵的计算公式,虽然我们可以计算矩阵级数来得到基解矩阵，但是计算无穷级数，并不是一件简单的事情。因此我们还需要寻找另外的方法计算基解矩阵。这个是本节内容，这个需要线性代数的内容。,与第四章采取的措施基本相同。,设方程设方程有如下形式的解（回忆第四章为什么这样设）：,这样求方程的解问题就变成了,求解 的问题。问题简单了，代价是我们做了一个假设，这个假设的来源是方程的线性性。现在看如何求解,将假设的解代入到原来的方程中得,这个是矩阵的特征值和特征向量问题（线性代数）。要使得方程有非零解c，那么系数矩阵的行列式为零。即：,得到,这个是关于 的多项式，称为A
2、的特征多项式，多项式等于零，称为特征方程，根为特征值，对应的非零解是特征向量。 根据代数学理论，这个n阶多项式有n个根，根可以相同，为重根。,例3 试求矩阵的特征值和对应的特征向量。,解,特征向量,例4 试求矩阵的特征值和特征向量,特征向量,总结一下,在例三中，不同的特征值给出了不同的特征向量，而例四中，相同的特征值（二重根）给出了相同的特征向量（相同的特征值可以给出不同的特征向量。 如：矩阵,特征值是2（二重根），特征向量：,定理10,如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们对应的特征值分别为： （不必互不相同），那么矩阵：是方程 的基解矩阵,证明：,根据求解过程知道，每一列项 都是方程的一
3、个解 因此，其构成的矩阵式一个解矩阵，只要证明其是线性无关即可，或者证明其矩阵行列式不等于零，根据,也可以根据定理2*,如果对于定义于定义域区间上任何一点行列式不等于零，则整个区间上均不等于零，这个也是定理四的另一种说法。,例5,前面例3 其中 已经求得特征值与特征向量，而且特征值不同，特征向量不相关。因此，基解矩阵为：,特征值与特征向量,特征值特征向量基解矩阵,使用特征值与特征向量方法求得的基解矩阵与指数矩阵 一般不一样,但是根据基解矩阵的相关推论（193页，推论2）两者之间可以通过一个非奇异的常数矩阵进行转换。即：找一个特殊点，t=0这一点求C,这样：,两者方法求出来的基解矩阵之间有如下关
4、系如对于例5得到：,前面我们讨论了n维,具有常系数的线性微分方程组，其系数矩阵具有n个线性无关的特征向量，这样我们通过求解特征值和特征向量，就可以得到方程组的基解矩阵了。但是并不是每个矩阵都有n个线性无关的特征向量，一旦出现重特征根，很有可能就找不到足够的线性无关的特征向量，那么此时怎么办呢？,先看一个例子（例2）,方程为特征值是二重根2，特征向量是,现在只有一个特征向量。,也就说现在有一个解 假设有另一个解代入方程中得到：,应该等于方程的右端项,而：,因此：即：,根据前面的关系式，只能取：,这时候有,这样,同时还有： 基解矩阵为这个与例2的结论是一样的。,二重根，我们可以这样做，多重根怎么办
5、？,根据前面二重根的情况，我们可以推测这样我们就可以得到，,求解顺序（这里以三重为例，多重类似）,比如对于三重根，先求出 然后 算出 再算出 解基解矩阵,严格的线性代数理论,空间分解的全体构成了一个nj维子空间Uj，并且n维空间是这个k个子空间的直积。,我们从 寻找重根的基解矩阵表示,因为而技巧：,引入到计算中,这样,得到,例7 ：以例4矩阵A的微分方程的基解矩阵,例4 矩阵为其特征值和特征向量为：,计算,也可以按照书上的公式（5.53）,也可以按照书上的公式（5.52）分别令 算出两个线性无关 的解得到同样的结果。,例8,如果求,矩阵A具有5重特征值-4,因此,例9 考虑方程组,系数矩阵为求
6、满足初始条件 并求,解：第一步求A的特征值和特征向量,A的特征值 （二重根） 特征根1的特征向量,特征根2的特征向量,只有一个特征值，亏损。,因为,因此取,这样,三个线性无关的解就得到了基解矩阵为,是,例9 重根但是特征向量不亏损,求解方程,特征值是：5（单根），3（二重根）,对应5 的特征向量： 1 -1 1T 对应3的特征向量：0 0 1 T2 3 0T,定理11,给定常系数的微分方程组， 那么 1.如果矩阵A的特征值的实部都是负的，则（5.33）的任何一个解当t趋向无穷大时候，解都趋向零。 2. 如果A的特征值的实部是非正的，且实部为零的特征值是简单特征值，则任何一个解当t趋向无穷时候，有界。,总结：我们这节介绍的计算基解矩阵的方法是多种方法的一部分。还有比如约当标准型法，利用哈密顿-凯莱定理等。,3。 如果矩阵A至少有一个特征值的实部是正的，那么（5.33）至少有一个解当t趋向无穷时候，趋向无穷大。,附注3 计算基解矩阵的另一种方法,其中：,对于常系数的非齐次方程,5.3.3 拉普拉斯变换的应用,例13 求解方程,解 令,方程两边做拉普拉斯变换解出X1（s），X2（s）,再做拉普拉斯反变换得到：,
