1、一、无穷小,二、无穷大,三、小结,第三节 无穷小与无穷大,一、无穷小(infinitesimal),1. 定义:,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2. 无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,3. 无穷小的运算性质:,定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,定理
2、3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,二、无穷大(infinite),特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,(vertical asymptote),意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷 小的讨论.,定理4(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一 过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无 穷小的倒数为无穷大.,三、小结,1. 主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2. 几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小
3、（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,一、极限的四则运算法则,定理,第四节 极限的运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),解,例5,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子、分母, 以分出无穷小, 然后再求极限.,例6,解,商的极限存在，必须,，,解得,例7,解,先变形再求极限.,例8,解,例9,解,左右极限存在且相等,意义：,三、小结 思考,1. 极限的四则运算法则及其推论;,2、极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,3、复合函数的极限运算法则,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾,故假设错误,
