1、在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？,导入新课,正方体和长方体是由平面图形围成的多面体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。,5,4,3,表面积为：434+452=88,求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积。,1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积与体积,正六棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？,棱柱的展开图,正棱柱的侧面展开图,h,a,棱锥的展开图是三角形。,同理，棱台的展开图呢？,棱台的展开图是梯形。,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的
2、各个侧面面积和底面面积之和。,已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 。,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。,因为BC=a，,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积：,解：先求SBC的面积，过S作SDBC，交BC于点D。,例一,圆柱的表面积,圆柱的侧面展开图是矩形,圆柱的表面积,圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的表面积,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的表面积,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?,圆台的表面积,圆台的侧面展开图是扇环,O,O,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?,圆台的表
3、面积,圆台的侧面展开图是扇环,O,O,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?,圆台的表面积,播放动画,一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1 cm2 ）？,解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：,答：花盆的表面积约是999 ,例二,探究,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,2.柱体、椎体、台体的体积,我们已经学习了特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：,（S为底面面积，h为高）,一般柱体体积也是：,其中S
4、为底面面积，h为棱柱的高。,思考3:关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.,将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？,圆锥的体积公式：,（其中S为底面面积，h为高）,棱锥的体积公式：,（其中S为底面面积，h为高）,圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的,棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的,思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？,它是同底同高的柱体的体积的 。,由
5、此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的 。,探究,如何求台体的体积？,由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此用两个锥体的体积差。得到圆台(棱台)的体积公式:,其中S，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高。,p,C,B,A,D,柱体、锥体与台体的体积,思考:你能发现三者之间的关系吗？,圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？,思考6:在台体的体积公式中，若S=S，S=0，则公式分别变形为什么？,有一堆规格相同的铁制（铁的密是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10
6、mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？,例三,解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:,答：这堆螺帽大约有252个,球的表面积和体积,与定点的距离小于或等于定长的点的集合，叫做球体，简称球,讲授新课,1、球的概念,定点叫做球的球心 定长叫做球的半径,与定点的距离等于定长的点的集合，叫做球面,2、 球的表面积,思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？,定理：半径为R的球的表面积是,球的表面积等于球的大圆面积的4倍,3、 球的体积,定理：半径为R的球的体积是,例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积
7、等于圆柱全面积的三分之二.,证明:,(2),理论迁移,如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.,4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.,练习二,1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.,2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.,3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,课堂练习,例3.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积.,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心
8、钢球的内径约为4.5cm.,“内径”是指内壁的直径，“外径”是指外壁直径。,(变式2)把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,解：当球内切于正方体时用料最省时,此时棱长直径5cm,答：至少要用纸150cm2,两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体,例4.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。,两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表
9、面上。,(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 ,求此球体的表面积和体积。,分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体体对角线与球的直径相等。,例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R， 截面O的半径为r，,例题讲解,例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,例题讲解,2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.,8,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积
10、变为原来的倍.,练习一,课堂练习,3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,探究：若正方体的棱长为a，则： 正方体的内切球的直径=a 与正方体所有侧棱相切的球的直径= 正方体的外接球的直径=,7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.,5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为_.,6.若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,则两球的直径之差为_.,练习二,课堂练习,例5、如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.0
11、1cm),8,6,6,18,5,15,15,11,11,x/,y/,z/,解：这个奖杯的体积为,V=V正四棱台+V长方体+ V球,其中,V正四棱台,V长方体=6818=864,V球=,所以这个奖杯的体积为,V 1828.76（cm3）,了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割求近似和化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；,熟练掌握球的体积、表面积公式：,课堂小结,课堂小结,柱体、椎体、台体的表面积：,高考链接,1.（2009 山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）,A.,B.,C.,D.,C,【解析】:该空
12、间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面边长为 ，高为所以体积为：所以该几何体的体积为：,2.（2009 辽宁）设某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体积为_。,3,4 m3,正视图,侧视图,俯视图,【解析】由三视图知其为三棱锥，由“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”可知高为2，底面三角形的底面边长为4，高为3，则所求棱锥体积为：,课堂练习,1. 圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_。,4S,2. 已知圆锥的表面积为 a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为_。
13、,3. 若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为_.,5,4. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）,A .,B .,C .,D .,A,5. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个 圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为_度。,180,6.如图,已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面 BCD,侧面ABC与底面所成的角为。 求证:V三棱锥=SABCADcos。 证明: 在平面BCD内，作DEBC,垂足为E,连结AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。 根据三垂线定理，AEBC。 AED=V三棱锥=SABCAD=BCEDAD=BC.AE cosAD=SABCADcos,习题答案,1.,2. 1.74千克。,
