1、图的基本概念,信号处理中的数学方法 第2-1讲,图的基本概念,图的定义与表示 图中的关系 顶点的度数 子图与图的同构 完全图 正则图 r部图 图模型,Leonhard Euler(1707-83),“欧拉计算毫不费力，就象人呼吸，或者鹰在风中保持平衡一样”(阿拉 戈语), 这不是对欧拉无与伦比的数学才能的夸大，欧拉是历史上著作最多的数学家，被他的同代人称为“分析的化身”。甚至在他生命的最后十年中的完全失明，也没有妨碍他的无与伦比的多产；事实上，失去视力有什么影响的话，那就是使欧拉对他想象中的内部 世界的洞察力更加敏锐。 贝尔：数学精英,Knigsberg七桥问题,问题的抽象： 用顶点表示对象-
2、“地块” 用边表示对象之间的关系-“有桥相连”,图的定义与表示,无向图的定义 图G是一个三元组：G =VG, EG, VG和EG是集合，且VGEG=, :EGvi, vj| vi, vjVG 注意：vi, vj=vj, vi G可以很方便地用图形表示：VG中的元素用空心小圆点表示，EG中的元素用连在两点之间的连线表示。 因此：VG称为顶点集，EG称为边集。,有向图的定义 只需将上述定义为:EGVGVG 注：这里的图形不是几何图形，位置、大小、线形均无意义，有意义的只是那些顶点之间有边。图的定义并不依赖于图形,图中的关系,图中边与顶点之间的关系 关联关系 图中顶点之间的关系 相邻关系利用上述关系
3、可以用矩阵表示图。,5,0,4,6,1,3,2,28,10,25,14,24,22,16,18,12,边的邻接矩阵表示,C0,C1,C2,C3,C4,C5,C0C1C2C3 C4C5 ,0 1 2 3 4 5,1 3 0 1 0 3,1,3 0,5,1,5 0,0,1,5 0,边的邻接链表表示,简单图,多重边与环 如果不是单射，即存在ei, ejEG, eiej, 但(ei)=(ej), 则ei, ej是多重边。 设eiEG, 若(ei)=vi, vi=vi, 则ei称为环。 简单图 既无环，又无多重边的图称为简单图。 (简单图中可用uvE表示边。),顶点的度数,无向图中顶点的度数 dG(v)
4、 = 与v相关联的边的条数。dG (v)是非负整数。 有向图中顶点的度数、出度和入度 dG+(v) = 以v为始点的边的条数。 dG-(v) = 以v为终点的边的条数。,顶点度数的数量特征 无向图中顶点度数的和是偶数。m是图中的边的条数。 奇度顶点的个数是偶数,度数序列,图的度数序列及非负整数序列的可图化 非负整数序列(d1,d2,dn)是图的度数序列当且仅当其各项之和为偶数。 必要性显然。 可以用构造法证明充分性 注意：奇数顶点成对出现。构造图如下： 奇数顶点两两相连。度数还小于相应的 di 的顶点上加上相应数量的环。,子图,设 G=, G=, 如果VV, EE, 则称G是G的子图。 如果V
5、V, 或者E E, 则称为真子图。 如果V=V, 则称为生成子图。 诱导(导出)子图：可以由顶点集的子集，或者由边集的子集导出一个子图。,图的同构,图同构的定义 设 G1= 和 G2= 是两个无向图。若存在双射 f: V1V2, g: E1E2, e=u, vE1, 当且仅当e=g(e)=g(u),g(v)E2, 则G1与G2同构，记G1G2 。,图同构的例子,下面三个图同构(Petersen图) 同颜色的点是同构映射下的对应点,完全图,完全图的顶点度数和边数 若简单图G中任意两点均相邻，则称为完全图。记为Kn, 其中n是图中顶点数。 显然，如果同构的图看作一个对每个正整数n有且仅有一个完全图
6、,记为Kn, 其中n是图中顶点个数。 Kn中每个顶点皆为n-1度，总边数为n(n-1)/2。简单图边数的上限 若图G是简单图，其总边数mn(n-1)/2,完全图(n=1,2,3,4,5),图G与其补图G具有相同的顶点集，其边集不相交，构成相应完全图边集的划分。,正则图,几个典型的正则图以2进制编码为顶点的正则图,r部图（r分图）,r部图(下面两个例子中r=2) 完全r部图,图的运算,减边或边集：G-e 减点或点集: G-v 边的收缩: Ge 加新边:G+e,“巧渡河”问题,问题：人、狼、羊、菜用一条只能同时载两位的小船渡河，“狼羊”、“羊菜”不能在无人在场时共处，当然只有人能架船。 图模型：顶
7、点表示“原岸的状态”，两点之间有边当且仅当一次合理的渡河“操作”能够实现该状态的转变。 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路。,“巧渡河”问题的解,注意：在“人狼羊菜”的16种组合种允许出现的只有10种。如何寻找最短路径？,空,(,成功,),人羊狼菜,人狼菜,人羊狼,人羊菜,狼菜,狼,菜,人羊,羊,考试时间编排问题,问题：排考试时间，一方面要总时间尽可能短(假设教室没问题)，另一方面一个同学所选的任意两门课不能同时间。 图模型：每门课程对应一个顶点。任意两点之间有边当且仅当对应的两门课程有相同的选课人。 解：用不同颜色给顶点着色。相
8、邻的点不能同颜色。则最少着色数即至少需要的考试时间段数。(可以将颜色相同的点所对应的课程安排在同一时间。) (这个问题本质上包含了四色地图问题),着色数不大于4的图,“魔棒”(Instant Insanity)问题(略),如右图所示的“魔棒”由四个正立方体堆砌而成。 每个立方体的6个面着色，从红、黄、蓝、绿 四色中选择。 要求：“魔棒”的每个侧面恰好是四种颜色。,特定的“魔棒”问题及其解 (略),右图表示4个正立方体 6个面的颜色分布情况。 这定义了一个特定的 “魔棒”问题。1 2是否有解？如何找解？3 4,可能的“侧面色式样” (略),（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,上页“魔棒”的一
9、个解 (略),左边是解题用的图: 任意两点间有边,当且仅当 该两点对应的颜色出现与一立方体的两个对面。 右边分别是结果实体的正面和背面 图例： 1： 2： 3： 4：,课程安排,数据结构（C语言基础） 操作系统（语言、组成原理、数据结构） 计算机组成原理 数据库系统（数据结构基础） C语言 嵌入式系统（C语言、操作系统、组成原理） 如何决定排课顺序？,课程安排,图中的顶点表示一项课程 弧表示两活动之间的先后次序,课程安排（Makefile文件编译）,C4， C0， C3， C2， C1， C5 或 C2， C4， C0， C3， C1， C5 等 如何得到结果？,输油管道网，起点到终点有多条管道可用于运输，每条管道的输送能力已知，问应如何安排各管道输油量，才能使从到的总输油量最大？,管道输送问题,最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输 网络中有人流、车流、货物流、供水系统中有水流，金融 系统中有现金流，通信系统中有数据流，等等。,管道输送问题网络流,我们班级成立了 3 个运动队:篮球队、排球队和足球队。今有张、王、李、赵、陈5位同学，若已知张、王为篮球队员；张、李、赵为排球队员；李、赵、陈为足球队员，问能否从这5人中选出3名不兼职的队长？,篮,排,足,张,王,李 赵 陈,V1,V2,匹配,
