1、主 讲：吴莹 教授 办公室：东校区中1楼2109 E-mail:,理论力学,西安交通大学航天航空学院 国家力学实验教学中心,2,14-1.质点的达朗伯原理,14-2.刚体的达朗伯原理(1)质点系的达朗伯原理(2)刚体中惯性力系的简化,14.达朗贝尔原理,14-.转动刚体的轴承动反力,3,14-1.质点的达朗伯原理,M,N,F,R,a,FI,(1)质点的达朗伯原理,F + N = m a,设有质量为m的质点M 在主动力F和约束反力N的作用下作某一曲线运动.,由质点动力学方程得:,亦即F + N + (-ma) = 0,令FI = - ma,得:F + N + FI = 0,在图示瞬时,其加速度为
2、a.,FI = - ma 称为质点 M 的惯性力.,4,质点的达朗伯原理:,质点在运动的每一瞬时,作用在质点上的主动力,约束反力与质点的惯性力构成一平衡力系.,达朗伯原理的实质仍然反映力与运动变化的关系,属于动力学问题.这种把动力学问题转化为静力学中平衡问题的方法称为动静法.,F + N + FI = 0,5,列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 a 。,例,6,解：选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力,由动静法, 有,q 角随着加速度a 的变化而变化，当a 不变时， q 角也不变。只要测出q 角，就能知道列车的加速度a。
3、这就是摆式加速度计的原理。,7,14-2.刚体的达朗伯原理,Mi,Fi,FiI,Ni,ai,o,ri,z,y,x,设有n个质点组成的非自 由质点系 ,取其中任一质量 为mi 的质点 .该质点上作用 有主动力Fi ,约束反力Ni .,在某一瞬时质点具 有加速度 ai ,则该质点的惯性力为FiI = - mi ai .,14-2-1 质点系的达朗伯原理,根据质点的达朗伯原理对每一个质点写出平衡 方程,可得下列平衡方程组.,Fi + Ni + FiI = 0 (i = 1,2,n),8,质点系的达朗伯原理:,或,在质点系运动的每一瞬时,作用于质点系上的所有主动力,约束反力与假想地加在质点系上各质点的
4、惯性力构成一平衡力系.,9,14-2-2.刚体中惯性力系的简化,(1)平动刚体中惯性力系的简化,选择刚体的质心为惯性力系的简化中心.,1)惯性力系的主矢,2)惯性力系的主矩,C,aC,aC,mi,ri,10,例,11,12,(2)定轴转动刚体中惯性力系的简化,本节只讨论具有质量对称平面的刚体绕垂 直于该平面的固定轴转动.,o,z,FiI,Fi1I,Fi2I,c,Mi,Mi2,Mi1,由运动学知处在平行于转轴的 直线上的所有点的加速度均相等.,因此对称质点 Mi1和 Mi2的惯性力 Fi1I = -mi1ai1和Fi2I = -mi2ai2也相等.,可将它们合成FiI =Fi1I +Fi2I后作
5、用 于对称面内的Mi点.,13,具有质量对称平面的刚体绕垂直于该平面的固定轴转动的情况,可以简化为具有质量的平面图形绕平面上固定点的转动,而刚体上的惯性力可以简化为平面任意力系.,RI,ac,ac,acn,ai,FiI,o,取z 轴与对称平面上交点o为简化中心,则主矢,Mi,1)惯性力系的主矢,c,RI = -miai,= -M ac,= -M(acn+ac),= RnI + RI,14,2)惯性力系的主矩,M I,FinI,FiI,15, 刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。, 刚体作匀速转动，且转轴过质心，则,16,均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开
6、始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,例,17,解： 选杆AB为研究对象虚加惯性力系：,根据动静法，有,18,例题. 重150N,半径为10cm的均质圆盘B与重60N,长24 cm的均质直杆AB在B处刚性连接如图。 =30o。系统由 图示位置无初速的释放。求系统 在初瞬时支座A的反力。,D,A,B,B,初始,解:取系统为研究对象进行 运动分析和受力分析,WB,WAB,XA,YA,系统作定轴转动,WBaB/g,WABaAB/g,D,A,B,B,WB,WAB,XA,YA,由初时条件得: AB = 0,aB = l = 0.24 aD = l /2 = 0.12 ,画系统的受力图并加惯性力 MA
7、(F)=0,aB,aD,JA, =34.77rad/s2,aD = 4.17 m/s2 aB = 8.34 m/s2,FX=0 FY=0,(1500.1 /29.8+150 0.24 /9.8+600.24 /39.8) ,2,2,2,+,=0,-,XA = 76.54 N YA = 77.35 N,(WBaBx+WABaDx) -XA,解得:,=0,24,(3)平面运动刚体中惯性力系的简化,1)惯性力系的主矢,RI = -M ac,2)惯性力系的主矩,McI = - Jc ,设刚体有一质量对称平面,且该平面在其自身平面内运动,惯性力系可简化为在对称平面内的平面力系。取质心c为简化中心。,本节
8、只讨论具有质量对称平面的刚体作平面运动的情形。 运动分解为随质心平动和绕质心转动。,25,牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 F1、F2及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,例题,26,解：取轮为研究对象，虚加惯性力系：,O,由动静法，得：,27,要保证车轮不滑动， 必须 FSf FN = f (P+F2),则 Mmax的值为上式右端的值。,O,即,28,例题. 位于铅垂平面内长度都等于l,质量都等于m的均质直杆OA和A
9、B,在A处用销钉连接,在O处用铰链支座固定如图所示.设两杆从水平位置由静止开始运动的瞬时,OA杆的角加速度为a1, AB杆的角加速度为a2.试画出整个系统的惯性力系.并分别用a1和a2表示.,29,解:取系统为研究对象进行运动分析.,OA杆作定轴转动.,AB杆作平面运动.,C2,C1,aC1,aC2,30,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。,应用举例,14
10、.达朗贝尔原理,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 求解求知量。,31,在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角 ，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,应用举例,例,32,解：用达朗贝尔原理求解 取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,应用举例,14.达朗贝尔原理,33,取轮A为研究对象，虚加惯性力FI 和惯性力偶MIA如图示。,应用举例,14.达朗贝尔原理,列出动静方程：,34,运
11、动学关系： ，,将MI，FI，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,应用举例,14.达朗贝尔原理,35,代入(2)、(3)、(5)式，得：,应用举例,14.达朗贝尔原理,36,例题.用长为l的两根绳子AO和BO把长l 重 P的匀质细直杆AB悬在点 O如图.且=60o当杆处于水平静止时,突然剪断绳子BO,求刚剪断瞬时另一绳子AO 的拉力及杆AB的角加速度.,37,解:取杆AB为研究对象进行运动分析.,绳子BO剪断后杆AB作 平面运动.点A作以O为圆 心AO为半径的圆周运动.,AB = 0 vA = 0,C,aA,aA,aCA,(2),38,进行受力分析画受力图.,(3),P,3
12、9,应用达朗伯原理得:,(5),联立(1)-(5)式得:,(4),40,例题. 在图示系统中,均质杆AB长l质量为m1,均质圆盘O的半径为r质量为m2物体E的质量为m3 .系统原处于静止, 杆AB 处于水平位置.某瞬时,A端的绳子突然断开,求该瞬时物体E和杆的质心C的加速度.设绳与轮之间无相对滑动,O处摩擦不计.,41,解:取系统为研究对象进行运动分析.,物体E作平动,圆盘O作定 轴转动,杆AB作平面运动.,AB = O = 0,aC = aB + aCB (2),(3),O,AB,aE,aB,aB,aCB,aE = aB = r O (1),42,进行受力分析画受力图.,m1g,m2g,m3
13、g,m1aB,m3aE,取杆AB为研究对象,(4),取整体为研究对象,XO,YO,m1aCB,(5),43,联立(1)-(5)式得:,44,如图示定轴转动刚体，考虑质点i，以O为简化中心。有,切向惯性力,法向惯性力,14-3.绕定轴转动刚体的轴承动约束力,45,则惯性力系对x轴的矩为：,14.达朗贝尔原理,46,分别称为对z 轴的惯性积，则惯性力系对x 轴的矩为,14.达朗贝尔原理,47,惯性力系对z轴的矩为,同理惯性力系对y轴的矩为,14.达朗贝尔原理,综上所述,惯性力系向转轴上一点O简化的主矩为,48,如果刚体有质量对称平面,且该平面与转轴z垂直,简化中心O取为 此平面与转轴的交点，则有,
14、则惯性力系简化的主矩为,刚体惯性力系简化,14.达朗贝尔原理,质量对称平面,几何对称平面,49,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,如图，以O为简化中心，所有主动力和惯性力系向该点简化，形成一空间任意“平衡力系”。,14.达朗贝尔原理,50,列平衡方程,由上述5个方程解得轴承的全约束反力为,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,51,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,52,设匀质转子重 P，质心 C 到转轴的距离是 e，转子以匀角速度 绕水平轴转动， AO = a ，OB = b (图 a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。,例六
15、,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,53,解:,解：轴是转子的一个主轴且转子匀速转动，则惯性力合成为作用于点O 的一个力 F IC ，方向沿 OC，大小等于,当质心 C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b所示。,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,54,根据动静法写出动态平衡方程,解得,两轴承所受的力分别和 FA ，FB 的大小相等而方向相反。,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,第二项为轴承动反力,55,注意： 动反力的大小一般是静反力的几十倍甚至几百倍大；动反力的方向也随时在变化。 动反力是非常有害的，它引起机器振动，尤其当机器变速运动时动
16、反力是不能忽视的； 消除动反力在工程上是一个很重要的课题。,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,下面简单介绍消除动反力的方法。,56,要使动反力为零，必须有,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,57,结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是，转轴通过质心，且刚体对转轴的惯性积等于零。,由前面所得，即有,所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性积等于零。,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,58,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,则上述结
17、论可表达为：避免出现轴承动约束力的条件为是，刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。,惯性主轴： 把 Jyz 0 和 Jzx 0 所对应的 z 轴称为 “惯性主轴”。 中心惯性主轴：若 Jyz 0 Jzx 0 且 xc 0 yc 0 ，即通过质心C 的惯性主轴z 称为“中心惯性主轴”。,可以证明：惯性主轴对刚体都可以找到，因此，中心惯性主轴也一定存在！,59,消除动反力的方法 工程上为消除动反力（即消除不平衡的惯性力系）常用静平衡与动平衡两种方法：,实际应用静平衡方法应用的范围是轴向尺寸不大且转速不太高的平面型转子,如齿轮、飞轮、叶轮、风扇等。,动平衡与静平衡,目的：调整转子质心的位置，以使偏心量 e
18、 尽量地小；消除由于偏心引起的动反力。,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,静平衡,60,注：动平衡的进行过程必须在专门的动平衡机上实现，在此不便详细叙述，请读者参考转子动力学方面的有关书籍。,目 的：通过适当调整质量分布，使得转轴成为中心惯性主轴。,动平衡与静平衡,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,动平衡,61,质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡：（a)、 (b)、 (d),动平衡： ( a),动平衡的刚体一定是静平衡的；而静平衡的刚体不一定是动平衡的。,绕定轴转
19、动刚体的轴承动约束力,14.达朗贝尔原理,例五,62,（1）引入惯性力的概念后，达朗伯原理使我们得以用静力学平衡方程的形式来求解动力学问题。它为解决动力学问题带来一定的方便，尤其是对求非自由质点系的动反力（约束力）问题。,（2）运用达朗伯原理解题，关键在于计算惯性力。除分析已知力和约束力外，还要对照质点或刚体的运动形式，加上相应的惯性力及惯性力偶，作出完整的受力图，然后列出力平衡方程式。,应用举例,14.达朗贝尔原理,（3）对一般形状的转动刚体，要想使转动轴不承受动反力（附加动反力），其条件是：转动轴是中心惯性主轴。为了消除轴承的动反力，要求保证转轴是中心惯性主轴。工程实际中采用动平衡的方法达到上述目的。,63,作业题：,14-8 14-9 14-13 14-12,14.达朗贝尔原理,
