1、复变函数,刘文军 北京邮电大学理学院 Email: Q Q: 1696944862 电话：13426223665,2012. 9. 19,第一章 复数与复变函数,主要内容,1.集合 （1）复数表示及其计算,（2）复平面上的曲线及区域,2.复变函数的定义,3.复变函数的极限及其连续,复数与复变函数,第一节 复数及其运算,复数与复变函数,一 复数的概念及其表示法,1 复数的概念,对于任意两实数x，y，我们称z=x+iy 或z=x+yi 为复数。其 中x,y分别为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z).,注1,当x=0,y0时，z=iy 为纯虚数；,当y=0,x0时，z=x 为实数；,
2、当x=0,y=0时，z=0 。,复数与复变函数,注2,i为虚数单位，规定i=,注3,复数与复变函数,2 复数的表示法,（1）代数式,z=x+iy,（2）几何式,1-1,复数与复变函数,注,1. x轴称为实轴，y轴称为虚轴。,复数与复变函数,复数与复变函数,复数与复变函数,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,（3）三角式,复数与复变函数,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,（4）指数式,复数与复变函数,例1,复数与复变函数,例2,复数与复变函数,二 复数的运算及性质,复数与复变函数,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,(一) 相等,运算,复数与复
3、变函数,1. 两复数的和:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,（二） 四则运算,代数形式,复数与复变函数,三角形式,指数形式,复数与复变函数,（三） 幂与方根,1 幂,复数与复变函数,棣莫弗公式,1.棣莫弗公式,注,复数与复变函数,从几何上看,根据棣莫佛公式,解释,当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.,从几何上看,复数与复变函数,性质,复数与复变函数,例3,解,例4,解,即,二、复球面,1. 南极、北极的定义,复数与复变函数,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,复数与复变函数,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,复数与复变函数,复数与复变函数,
