1、第二节 函数的求导法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,第二章 导数与微分,一、四则运算求导法则,定理1.,u(x) 与 v(x) 的和、差 、积、商 (除分母,为 0 的点外) 都在点 x 可导, 且,下面分别证明.,设 u(x), v(x) 都在 x 点可导，则,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),解：,解:,例1.,例2.,解:,例3.,例4.,解：,类似可证:,例5.,
2、解：,二、反函数的求导法则,定理2.,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,证：由于函数 x = f (y)在 Iy 单调、可导从而连续，于是x = f (y) 的反函数 y = f -1(x) 存在且在 Ix 内也单调，可导并连续。,在 x Ix 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例6.,例7.,例8.,解：,三、复合函数求导法则,证:,在点 u 可导,故,故有,u = g(x)在点 x 可导,定理3.,y = f (u)在点 u = g(x),可导,复合函数 y = f g(x),且,在点 x 可导,或,例如,推广：,因变量
3、对自变量求导, 等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导(链式法则) 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,此法则可推广到多个中间变量的情形.,例9.,解：,解:,例10.,例11.,解:,例12.,解：,例13.,解：,例14.,解：,例15.,证：,例16.,解：,四、基本求导法则与导数公式,1. 常数和基本初等函数的导数公式,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,设 u = u(x), v = v(x) 都可导，则,3. 反函数的求导法则,则复合函数 y = f g(x) 也可导, 且,或,4. 复合函数的求导法则,作业,P97-98 2/(2)(6)(10) 3/(2) 6/(4)(6)(8) 7/(1)(3) 10 11/(3)(6),例.,解:,例.,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例. 设,求,解:,例.,求,解:,例.,设,解:,求,1.,对吗?,课堂练习,2. 设,其中,在 x = a,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,4. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,5. 设,解：,6 . 设,解:,8.,解:,
