1、第4章 01 根轨迹法,主要内容4.1根轨迹与根轨迹方程 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系4.4 开环零极点对根轨迹的影响,4.1根轨迹与根轨迹方程,4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程,什么是时域分析?指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。,4.1.1 根轨迹,根轨迹定义：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。,例：如图所示二阶系统，,特征方程为：,闭环传递函数：,系统开环传递函数为：,特征根为：,讨论： 不论开环增K为何值，根轨迹均在S平面左半部，
2、所以系统是稳的。,当K0.5时，闭环特征根具有两不相等的负实数根，阶跃响应为非周期状态，相当于过阻尼状态。,当K=0.5时，闭环特征根具有两相等的负实根，系统处临界阻尼状态,当K0.5时，闭环特征根具有负实部的共轭复根，阶跃响应为衰减振荡过程，相当于欠阻尼状态。,因为开环传递函数有一个位坐标圆点的极点，系统为I型系统，在阶跃信号作用下稳态误差为零，在斜坡信号作用下稳态误差为常数。,由上述分析过程可知，用直接求闭环特根的方绘制根轨迹，对二阶系统是基本可行的，然而对高阶系统将是很困难和不现实的。根轨迹的根本思路是根据反馈系统开环，闭环传递函数确定关系，通过开环传递函数寻求闭环根轨迹的分析方法。,4
3、.1.2根轨迹方程,闭环传递函数为：,闭环特征方程为：,写成以下标准型，得：,分母时间常数。,系统的开环放大倍数；,式中：,i,T,K,-,-,-分子时间常数。,也可写成：,称为根轨迹增益,上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。,可写出幅值方程与相角方程，即,及相角方程,还可写成幅值方程,式中K=0，1，2，,由开环零极点指向轨迹点的向量的方位角。,4.2 绘制根轨迹的基本规则,规则1：根轨迹的分支数 根轨迹在S平面的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环极点的数目相同。,规则2：根轨迹的分支数根轨迹对称于实轴 如果闭环极点
4、为实数时，必然在实轴上，若为复数，一定为共轭成对出现，所以根轨迹必然对称于实轴。,规则3：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点m小于开环极点n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。,根轨迹方程为,根轨迹的起点，即当开环增益K=0时的闭环极点，当K=0，上式右边无穷大，对应上式的左边，只有当SPi时为无穷大，所以K=0时，根轨迹分别从开环极点开始，即起始于开环极点。,根轨迹的终点，即当开环增益K=时，上式右边为零，对应上式的左边，只有当SZi时为零，所以根轨迹的终点对应于开环零点，或者说根轨迹终止于开环零点。,当nm时只有m条根轨迹终止于开环零点，由nm，当S上式可写成,所以，当K
5、时，有 条根轨迹终止于无穷远。,规则4：实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹区段右侧，开环零极点数目之和为奇数。,若某系统开环零， 极点分布如图.现要判断一下P2和Z2之间是否存在根轨迹。,可取此线段上的任一点Sd为实验点，在Sd右边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量为180，在Sd点左边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量相角为0，而不在实轴上的一对共轭的开环零极点引向Sd的矢量相角大小相等，方向相反，其和为零，因此，满足根轨迹方程相角条件,因此，实轴上根轨迹与复数开环零极点无关（因此它们在相角条件中互相抵消），与实验点左边的开环零极点无关（因为它们提供的相角均为0），要满相角条件 ，只有实
6、验点右边的开环零极点数目之和为奇数。,例4-1已知单位反馈系统的开环传递函数,式中T，试大致画出其根轨迹。,解：首先将G(s)化成标准式,由标准式可知：开环传函数有两个极点 有一个零点即n=2，m=1。故有两条根轨迹。,当K=0时，两条根轨迹从开环极点开始，当K时，其中一条根轨迹终止于开环零点Z1，另一条趋向于无穷远处。实轴上，（P1，Z1），（P2，-）为根轨迹区段，根轨迹如图所示,规则5：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益K时，趋向无穷远的根轨迹 有 条，这 条根轨迹的方位可由渐近线决定。,与实轴正方向夹角,与实轴交点,式中，K=0，1，2一直到获得 n-m 个倾角为止。,例4-2单位负反馈
7、系统的开环传递函数为 求根轨迹的渐近线。,解：有三个开环极点， ，开环没有零点，n=3，m=0，故有三条根轨迹趋向于无穷远，其渐近线与实轴交点为,当K=0，,当K=1，,渐近线如图,规则6：根轨迹出射角和入射角 根轨迹的出射角，是指起于开环极点根轨迹的方向角，即根轨迹出发点切线与水平线的夹角。,根轨迹的入射角，是指终止于开环零点根轨迹的方向角，即根轨迹终止点切线与水平线的夹角。,（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根轨迹可知 。,例4-3 设单位反馈系统的开环传递函数 试绘制系统根轨迹。,解：开环极点：,开环零点:,（1）实轴（01.5）和（ ）有根轨迹。,（3）根轨迹
8、出射角与入射角。,出射角,各向量如图4-9（a）所示。取K=0，,同理可求根轨迹入射角,取K=0，,因为 与 共轭，所以,规则7：分离点（会合点） 两条根轨迹在复平面会合又分开的点称为根轨迹的分离点或会合点。,将系统根轨迹方程,写成,则特征方程,根轨迹在S平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现，根据代数中有重根条件：,另一种方法，可利用公式,从上式中解出S，即可求分离点坐标d。,例4-4已知系统开环传递函数，系统结构图如图所示。,试求闭环根轨迹分离坐标，并画出根轨迹图,解：由系统开环传递函数可知 解法1,S2无意义舍去。 分离点坐标为：d= -3.7,解法2 用公式有,解此方程,规则8：根轨迹与
9、虚轴交点 根轨迹与虚轴交点可用 求解，或者用劳斯判据确定。显然，当根轨迹与虚轴相交，说明此特此根实部为零，设 ，代入特征方程，即可求出与虚轴的交点坐标（ ）及其参数。,例4-5 已知系统开环传递函数 求系统根轨迹与虚轴交点,解法1：闭环特征方程,即根轨迹与虚轴交点为j2，这时系统的开环增益K=20,解法2：闭环特征方程D（S）=S（S+1）（S+4）=S+5S+4S+K=0 劳斯阵列表 S 1 4 S 5 K S1 0S K 系统临界稳定时 K=20将K代入D（S）得 S+5S+4S+20=0 故,其中S1不在虚轴上，不是根轨迹与虚轴交点；S2,3在虚轴上，为根轨迹与虚轴交点。,例4-6设单位
10、负反馈开环传递函数为 试绘制其根轨迹图。,解 1开环极点m=0无开环零点 2有4条根轨迹。4条根轨迹趋无穷远。 3在实轴（-3，0）有根轨迹 4渐近线,与实轴交点：,与实轴夹角：,5分离点d,6 为复数开环极点。 出射角,7与虚轴交点 令S=j代入特程方程,分别令实部与虚部为0。,由根轨迹图可知，当0K8.22系统稳定。,例4-7单位负反馈系统的开环传递函数为 求 绘制其根轨迹。,解 1开环极点 n=4,m=0 2有四条根轨迹 3实轴（4，0）有根轨迹 4渐近线,与实轴夹角：,与实轴交点：,5分离点d,实轴分离点 d1=-2 复数分离点 d2,3=-2j2.45,6根轨迹与虚轴交点 令S=j特
11、征方程,所以：当0K260系统稳定,4.3 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,4.3.1闭环零极点分布与阶跃响应的关系4.3.2主导极点与偶极子4.3.3利用主导极点估算系统的性能指标,根轨迹描述的是当系统参数变化时，其闭环极点在S平面的分布，而系统的性能一般都由其阶跃响应来表示，所以，闭环零极点的分布决定了控制系统的性能关系。,设n阶系统的闭环传递函数为,式中 Zj为闭环传递函数的零点 Si为闭环传递函数的极点,设输入为单位阶跃信号 其拉氏变换为：,则,若 无 重极点，可将上式分解成部分分式，得,经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应,从上式可看出，系统的单位阶跃响应由闭环极点SK及 系统
12、AK决定。,4.3.1闭环零极点分布与阶跃响应的关系,一个好的控制系统，要求其输出量尽可能复现给定量，要求系统是稳定的，要求动态过程的快速性平稳性要好一些，这就要求：,1要求系统稳定，必须要求闭环极点均位于S平面左半部；,2要求系统快速性好，使SK的绝对值大，使暂态分量衰减的快，则闭环极点应远离虚轴。,3要求动态过程尽快消失，要求AK要小，对应的暂态分量小，由式（4-20）可知,使分母大，分子小。闭环极点Si远离SK，零点Zi应靠近SK。,4.3.2主导极点与偶极子,主导极点：对系统动态特性影响最大的闭环极点，包括复数极点和实数极点，称主导极点，相对于离虚轴最近的闭环极点对系统影响最大，其它极
13、点实部绝对值比主导极点的实部大23倍以上时在工程上即可忽略不计。 工程上往往利用主导极点估算系统动态性能，将一个较复杂的系统近似地看成是一阶或二阶系统进行分析。 偶极子：将一对靠得很近的闭环极点与零点称为偶极子，在对系统设计时，我们可以添加零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态特性得到改善。,4.3.3利用主导极点估算系统的性能指标,在工程上经常利用主导极点估算系统的性能指标，将高阶系统近似地看成简单的一阶和二阶系统，直接利用时或分析章节中的公式和曲线。,例4-8某系统闭环传递函数 试近拟计算机系统的动态性能指标%，,解 闭环有三个极点，分别为,极点S1离虚轴最近，因为S2，3
14、负实部-4与S1负实部-1.5之比=2.66，则S1为系统的主导极点。将S2，3忽略不计，这时系统可以近拟看成一阶系统。,时间常T=0.67 由时域分析可知%=0系统无超调量3T=30.67秒,例4-10负反馈系统的开环传递函数 绘出K(由0)变化时系统闭环根轨迹,解 首先把开环传递函数化成标准式,（1）、作根轨迹图 P1=0，P2=-1，P3=-2，n=3,m=0有三条根轨迹，从P1 ，P2， P3出发，分别趋于无穷远。 实轴上（0，-1），（-2，-）区段存在根轨迹。 渐近线与实轴交点为,渐近线与实轴正方向夹角为,式中S2不在根轨迹上舍去。 分离点d=-0.423,分离点坐标,与虚轴交点,
15、令S=j代入特征方程,实部,虚部,画出根轨迹如图所示,（2）分析系统稳定性 当K3时，有两条根轨迹进入S平面右半部，系统不稳定。所以当0K3时系统是稳定的。,（3）要求=0.5 =arccos=arccos0.5=60 在图4-14中画出=0.5阻尼线，并测得阻尼线与根轨迹交点。S1=-0.33+j0.57S2=-0.33-j0.57 欲确定S1，S2是一对主导极点，必须找出同一K值时的第三个闭环极点，并确认其实部与S1，S2相差6倍以上，将S1=-0.33+j0.57代入到根轨迹幅值条件中求得对应的K值。,|S（S+1）（S+2）|=2K |-0.33+j0.57|-0.33+j0.57+1
16、|-0.33+j0.57+2|=2KK=0.516 在K=0.516时，S1，2=0.33+j0.57，S3待求。,求S3时，相于一个三次方程，知道了两个根，求第三个根。由特征方程可知 S（S+1）（S+2）+2K=（S-S1）（S-S2）（S-S3）,代入K=0.516，S1=-0.33+j0.57，S2=-0.33-j0.57 有,用多项式除法求出第三个闭环极点S3=-2.34 S3距虚轴的距离是（2.34）是S1，2距虚轴（0.33）的7倍以上，因此，可以确认S1，S2是主导极点，可以将系统近似为二阶系统。,4.4 开环零极点对根轨迹的影响,4.4.1开环零点对根轨迹的影响,4.4.2开
17、环极点对根轨迹的影响,开环零极点的分布，决定了根轨迹的图形，而根轨迹的图形又可以决定系统的稳定性，响应的动态特性。因此，在控制系统的设计中，可以利用改变系统的零极点配置的方法来改变根轨迹图形，以达到改善控制系统性能指标的目的。,4.4.1开环零点对根轨迹的影响,例4-17设原系统的开环传递函数,解 先绘出原系统根轨迹n=3 P1,2=0 P3=-2 m=0 实轴根轨迹段为（-，-2） 渐近线,若在系统添加零点（S+1），系统开环传递函数变为， 画出该系统根轨迹，看基根轨迹有何变化。 由开环传递函可以看出 P1=0 P2=0 P3=-2 Z1=-1 n=3 m=1 实轴根轨迹（-2，-1） 渐近
18、线,由此例看出，若增加开环零点的绝对值|Z|小于开环极点的绝对值|P|，则可使原来对任何K值均不稳定的系统，变成对任K都稳定的系统。,例4-11设单位反馈系统开环传递函数 ，讨论增加一开环零点S=-4对根轨迹的影响。,解 先画出原系统的根轨迹，原系统：n=2 P1=0 P2=-2 m=0 实轴上根轨迹区段为（-20）,渐近线,分离点,其根轨迹如图4-2所示,当01闭环有两共轭复根时欠阻尼振荡。,若添加S=-4零点，系统开环传递函数变为,P1=0 P2=-2 Z1=-4 n=2 m=1,画出该系统根轨迹。,实轴根轨迹（-4，-），（-2，0） 利用对多项式求导的方法，求分离点,在分离点d1=-1
19、.17处，K1=0.342，在会合点d2=-6.82处，K2=11.65。该系统根轨迹图如图4-19所示，由添加零点后的根轨迹图可以看出，当 0K0.342 系统过阻尼响应 0.342K11.65 系统为欠阻尼响应 11.65K 系统为过阻尼响应,4.4.2开环极点对根轨迹的影响,例4-12，在 加一开环极点S=-4，画出根轨迹图。,解：系统开环传递函数为,实轴根轨迹（-2，0） （-，-4）区段。 渐近线,分离点,与虚轴交点：将S=j代入特征方程,其中S2不在根轨迹上，舍去。分离点为：S=-0.84,其根轨迹如图所示，由根轨迹图可知，由于添加一个极点，系统由原来的任意K值稳定，变成有条件稳定
20、，当K大于某一值后，根轨迹进入S平面右半部，而使系统变为不稳定。,本章小结 1根轨迹是利用开环传递函数参数变化，确定闭环极点在S平面的分布，确定系统稳定性与动态特性。 2根据绘制根轨迹的基本规则，可以由开环增益K为参数变化画出根轨迹，而规则的基础是利用根轨迹的幅值条件，幅角条件。 3利用添加开环零点和极点，可以改变系统特性。 4. 根轨迹利用开环传递函数分析闭环动态响应，是一种图解方法，直观简捷，不需要用代数方法求解高阶闭环特征方程，给分析控制系统带来方便。 5 要准确画出根轨迹，必须掌握根轨迹基本规则，尤其是起、终点规则、渐进线、实轴根轨迹、分离点、会合点等基本规则。 6 正确判定主导极点和偶极子，对正确分析和估算系统的动态性能是非常必要的，性能指标的估算精度，取决于主导极点的主导地位和偶极子的耦合程度，没有固定的标准，为了提高精度可以多保留闭环极点。,
