1、第三节 可数集合,第一章 集合及其基数,注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, ,1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,例：1）Z = 0，1，-1，2，-2，3，-3， ,与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为,可数集的定义,2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, ,假设这是一个无限集M,我们可以取出其中一个点a1显然Ma1还是无限集,在Ma1中可以取出一点a2显然Ma1，a2还是无限集,我们可以取出一个可数子集a1,a2,a3,.,任何无限集合均含
2、有可数子集（即可数集是无限集中具有最小势的的集合), 可数集的性质（子集）,可数集的子集或为有限集或为可数集,推论,可数集的性质（并集）,有限集与可数集的并仍为可数集,A=a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,当集合有公共元素时，不重复排。,假设A，B，C两两不交，则AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, ,可数个可数集的并仍为可数集,有限个可数集的并仍为可数集,C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, ,B=b1, b2, b3, ,bn,AC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, ,当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个
3、无穷序列;当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；,可数个可数集的并仍为可数集的证明,说明:与Hilbert旅馆问题比较;如何把无限集分解成无限个无限集合的并?,首先0,1中的有理数全体=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可数集，,例 全体有理数之集Q是可数集,所以Q是可数集（可数个可数集的并）,说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).,有限个可数集的卡氏积是可数集,设A，B是可数集，则AB也是可数集,从而AB也是可数集（可数个可数集的并）,利用数学归纳法即得有限个乘积的情形,3 可数集的性质（卡氏积）,例
4、平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集,证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而,对上例的说明,特殊情形： 0,1 (0,1) R R-Q, 1/2 , 1/3 , , 1/5 , 0 , 1 , , 1/3 , 1/4 ,整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。,由代数基本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.,设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体,例 代数数全体是可数集,假设这是集合A,从中可以取出可数子集M,很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集,AM,M=a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,M1 =a1, a3, a5, ,M2=a2, a4, a6, ,取A*=(AM)M1=A-M2即可,例,说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子集与它有相同多的元素个数,问:为什么不直接令A*=AM ?,
