1、(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,(1) 矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不同。 行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，它的行数和列数相同.,(3) 矩阵的运算加法：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.数乘：矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同.乘法：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.矩阵相乘不满足交换律，不满足消去律，有非零的零因子.,(4) 矩阵的转置、对称矩阵、反对称矩阵,2.4 方阵的行列式、逆矩阵,一、方阵的行列式,定义 设 n 阶方阵,则称 n 阶行列式,为 n 阶方阵A的行列式，记
2、为 或 .,若 ，称方阵 A 是奇异的（或退化的）,若 ，称方阵 A 是非奇异的（或非退化的）,性质,(singular),(nonsingular),则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,如果存在一个矩阵 ,使得,二、逆矩阵（inverse matrix）,例 设,定义 对于n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B,使得 ，则称方阵 A 是可逆的，并称 B 是 A 的逆矩阵，记为 .,显然有,定理 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的
3、可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,证,例1 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,逆矩阵的运算性质,1、在什么条件下矩阵 A 可逆？,问题：,2、如果 A 可逆，怎么求 ？,称 A* 为 A 的伴随矩阵.,定义 设 ，令 Aij 是 A 的行列式中元素 aij 的代数余子式，,(adjoint matrix),定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且,证,若 可逆，,按逆矩阵的定义得,矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件: A 为非奇异矩阵.,逆矩阵的计算公式,推论,证,例2 求方阵 的逆矩阵.,解,同理可得,故,解,例3,例4,例5,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,小结,逆矩阵的概念及运算性质.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵 存在,
