1、第六章 振动,(vibration),6-1 简谐振动的描述 6-2 简谐振动的动力学特征 6-3 阻尼振动 受迫振动 共振6-4 简谐振动的合成,6-1 简谐振动的描述,(description of harmonic vibration),1简谐振动的定义,1.1 机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动：一个物理量随时间t 作周期性变化,1.2 简谐振动,则物体的运动为简谐振动。,物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：,2描述简谐振动的物理量,2.1 周期和频率,2.3 位相与初相,t 时刻的位相: t+,初相: ,2.2 振幅,A
2、,相位的意义:,相位已知则振动状态已知,相位每改变 2 振动重复一次., 相位 2 范围内变化,状态不重复.,相位差两个简谐运动相位之差。,设两个简谐运动的函数为,相差：,相位差：, 同相和反相(同频率振动),当 = 2k 两振动步调相同,称同相,当 = (2k+1) 两振动步调相反 , 称反相, 超前和落后,若 = 2- 1 0 , 则 x2 比 x1 早 达到正最大 , 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。,一般超前或落后均以小于 的值表示,问题:作简谐振动的物体位移,速度,加速度之间的位相关系?,3简谐振动的表示,1）振动表达式：,2）振动曲线：,由初始条件求振幅和
3、初相位,例 一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求:(1) 振动表达式；(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x = -6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。,（2）,例 一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0s-1。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：（1） 简谐运动表达式；（2）物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。,解：,（为什么 ？）,用一个作匀速圆周运动旋转矢量在x轴上的投
4、影 来表示简谐运动的位置变化的方法,3）旋转矢量描述：,旋转矢量法, t + ,o,x,x,t,t = 0,特点:直观方便,振幅：旋转矢量的模A 圆频率：旋转矢量的角速度，旋转矢量匀速圆周运动 位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+,逆时针旋转,3）旋转矢量表示：,可直观地研究简谐运动的相位和相差为研究简谐运动的合成提供方法,将简谐运动的特征量赋予几何意义,旋转矢量法,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,问题:请用旋转矢量法表示简谐运动的位移，速度，加速度并讨论它们之间的位相关系?,例 已知质点做简谐运动，t=0 时 x0=A/2，v00,求 此简谐运动的初相,例 两质点作同方向、同频率的简谐运
5、动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。,解：,用旋转矢量法解:,x,用旋转矢量法重解:,解：,设简谐振运表达式为,已知： A=12cm , T=2s ，,x = A cos (t+ ),x=0.12 cos (t + ) m,（1）,例 一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求:(1) 振动表达式；(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x = -0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位
6、置所需要的时间。,A=12cm,x=0.12 cos (t /3) m,x,解：,例 一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0s-1。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：（1） 简谐运动表达式；（2）物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。,（3）,6-2 简谐振动的动力学特征,(dynamic characteristic of harmonic vibration),1简谐振动的动力学特征,物体受到的合外力大小与它离开平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反。具有这种性质的力称为线性恢复力,1简谐振动的动力学特征,如
7、果一个物体所受的合外力是线性恢复力，则它必做简谐运动。线性恢复力的作用就是简谐运动的动力学特征。,结论：简谐振动的动力学特征,2.几种常见的简谐振动,2.1 弹簧振子,周期和频率：由振动系统的固有性质决定,振幅和初相：由初始条件决定,2.2 单摆,s,弹簧振子的固有（圆）频率不受系统放置的影响。,考察悬垂的弹簧振子：,以平衡位置为坐标原点O，则,x0为平衡时弹簧的伸长量,解 均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取使细棒逆时针加速的力矩为正方向。,由转动定律：,例 一长为 l 的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上， 作成一复摆。此摆作微小摆动的特点如何？,例 质量为m的比重计，放在密度为的液体中。已
8、知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动作简谐运动。,解：,取平衡位置为坐标原点,平衡时：,浮力：,其中 V 为比重计的排水体积,（）,（）,由式（a）（b）, 有,则得,例 证明图示系统的振动为简谐运动。其频率为,证：,设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2,x,k1,k2,x,则得：,例 如图所示，已知弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，滑轮的半径为R，转动惯量为J。开始时托住物体m，使得系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧无形变，t=0时放开m。设绳子与滑轮间无相对滑动。 (1) 证明放开后m作简谐振动； (2) 求振动周期； (3) 写出m的振动表达式。,解：,例 一轻
9、质、倔强系数为k的弹簧悬挂在墙边，下端系有一根质量为m的齿条，齿条背面与光滑墙壁相靠，齿条又与一质量为M、半径为r、有固定转轴的齿轮咬合（齿轮视为质量均匀的圆盘）。开始时托起齿条使之静止，又恰好让弹簧无伸长，求此后齿条的运动方程。,解：取坐标Ox向下为正方向，O为 t = 0 时齿条的位置。由咬合关系齿轮逆时针转为转动参考方向。,令 ，有,于是，运动方程为,解得,其中,X 坐标的原点 在平衡位置,例 轻质的、原长为l、倔强系数为k的弹簧一端固定在地面，另一端系有质量为m的小球，小球被限制在一开缝的圆管内（如图所示）。圆管轴线在水平面内，且弹簧下端的固定点位于轴线的正下方。小球在平衡位置处时弹簧
10、伸长s。求小球在管内作小振动的周期。,解：取坐标Ox向右为正方向，O在平衡位置。,在x方向应用牛顿运动定律，有,小振动：,3.简谐振动的能量,结论：谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能：,保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。,微观上并非如此，量子力学中的“隧道效应”,被限定在区间,例 当简谐运动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？,解：,6-3 阻尼振动 受迫振动 共振,(damped vibration, forced and vibration resonance),1阻尼振动,1.1 阻
11、尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。,1.2 阻尼振动的定量分析,欠阻尼：,临界阻尼：,特点：质点不再作来回振动，到达平衡位置刚好停下来。,过阻尼：,特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止 在平衡位置。,振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。,2受迫振动,2.1 受迫振动,2.2 受迫振动的定量分析,讨论：,1）稳定时，系统按余弦函数作周期性振动：,2）系统振动的频率等于驱动力的频率。,3）系统振动的振幅：,4）系统振动的初位相：,当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。这种现象称为共振。,3共振,小号发出的波足以把玻璃杯振
12、碎,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年一场大风引起桥的共振, 桥被摧毁,6-4 简谐振动的合成,(combination of harmonic vibration),在机械振动中，质点的振动往往是由几个振动合成的。如两列声波激发同一质点振动该质点同时参与两个振动,合成的振动一般较复杂，我们重点讨论简单的振动合成情况：同向同频,本节所讨论的同频率的谐振动合成结果是波的干涉和偏振光干涉的重要基础。,1.同一直线上同频率的简谐运动的合成,合成振动为,设两个在同一直线上的同频简谐运动表达式为,合成振动仍为频率相同的简谐运动：,A和 是多少？,均以相同角速度 旋转，矢量和 也以 转。,其中,合成振
13、动：,2）,结论：,1）同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动同频率的简谐振动。,合振动振幅与 有关：, 其他情况,链接,将多个旋转矢量合成，求得合矢量，然后再把合矢量 投影在 ox 轴上 ，求得合成后的谐振动方程。,合成后仍为简谐振动。,1.2 多个同频率同方向的简谐振动的合成,1.2 多个同频率同方向的简谐振动的合成,例 同方向的简谐运动曲线(如图所示) 1、求合振动的振幅。 2、求合振动的振动方程。,解：,解：,例 两个同方向，同频率的简谐运动，其合振动的振幅为20 cm，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐运动的位相差为多少？
14、,解：利用旋转矢量法,由图可知，合振动的初相为,合振动的振幅为,例 两个简谐运动分别为求 它们合成振动的运动方程。,因此，合振动的初相为,例一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为,（ ）,则其合成振动的振幅为_，初相为_,2.同方向不同频率的简谐振动的合成,频率较大而频率之差很小的两个同向简谐运动的合成：,合振动的振幅随时间周期变化，从而出现时而加强时而减弱的现象叫拍.单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。,2.同方向不同频率的简谐振动的合成,结论：,3相互垂直的同频率的简谐振动的合成,椭圆轨道,设两个发生在x和y方向上、同频率的简谐运动表达式为,合成振动在xy平面内，随时间变化的位置矢量为,3相互垂直的同频率的简谐振动的合成,1） 同相,以上合成结果仍为简谐运动,3相互垂直的同频率的简谐振动的合成,2） 反相,质点离开平衡位置的位移,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的,3） 落后,一般情况下，由于不同频，相差随时间变，合成振动的轨迹不稳定，形状不再是椭圆。但有两种特例：,4相互垂直的不同频率的简谐振动的合成,链接,homework,练习册：本章选择题及填空题都做 教材课后：2, 3, 5, 9, 19, 20, 24, 25,
