1、第三章 复变函数的积分,积分法是研究复变函数性质和解决实际问题的十分重要方法.解析函数的许多重要性质如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分.,复变函数积分的概念、性质和计算法,Cauchuy-Goursat基本定理、复合闭路定理,Cauchuy积分公式,高阶导数公式,解析函数与调和函数的关系,3.1 复变函数积分的概念,一、积分的定义 二、积分的性质 三、积分存在的条件及其计算法,3.1 复变函数积分的概念,特别地：,二、复变函数积分的定义,定义：函数f(z)定义域为D,曲线C在D内, 起点A,终 点B.1）分割曲线C，A=
2、z0, z1,., zk-1, zk,., zn=B,2）在每个小弧段 上任取一点 ,小弧段向量 ,作乘积：,3）求黎曼和(Riemann)4) 取极限(是最长小弧段的长度)称此极限是函数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为若曲线是闭合的，记为 .,注意： 1、 函数在按段光滑的曲线上连续，则积分一定 存在。 2、 若曲线C 就是x轴上的线段a, b，且复变函 数f(z)=u(x)时，dz=dx。复变函数积分就是一元实变函数定积分。,三 积分的性质,即：方向性，线性性质，路径可加性,四、 积分存在的条件极其计算,设光滑曲线 由参数方程： 给出，正方向为参数增加的方向，设,公式法(一)：化复变函数积分为第二类曲线积分法,所以有,公式法(二)：化复变函数积分为对参数t的 一元函数积分,例1,解：参数方程解法,直线方程为,注1：此圆包围被积函数的奇点z0，积分与半径无关。甚至与曲线是否是圆无关。 2：闭合曲线包围被积函数的奇点，积分通常非零。,解(2)： 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,注：本题积分值与路径有关,YOU ARE FREE,
