1、高等学校应用型特色规划教材,统计学STATISTICS清华大学出版社,第五章 变异指标,本章共分为五个小节，分别为：第一节 变异指标的基本理论第二节 全距和平均差第三节 标准差和标准差系数第四节 偏度与峰度第五节 变异指标的应用,离散特征,离散特征数的含义,它是用来概括分布的离散特征的数字 它描述了数据的不均匀状况 它辅助说明了代表值代表性的强弱,第一节 变异指标的基本理论,一、变异指标的意义,变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大,二、变异指标的作用,衡量和比较平均数代表性的大小； 是进行质量控制的基础； 是衡量风险程度的尺度。,例如：某车间有两个生产小组，各有7
2、名工人，各人日产量如下: 甲组：20，40，60，70，80，100，120 乙组：67，68，69，70，71，72，73,三、变异指标的种类,以标志值之间相互比较说明变异情况,以平均数为比较标准来说明标志的变异情况,以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标,平均差,标准差,平均差系数,标准差系数,方差,峰度,偏度,全距,分位差,第二节 全距和平均差,一、全距,全距是总体单位中，最大标志值与最小标志值之差，又称“极差”。,【例1】某售货小组5人某天的销售额分别为4400元、4800元、5200元、6000元、7500元，则,【例2】某车间工人日产零件分组资料如下表所示：,若组距式分组中有开
3、口组，则在开口组上限和下限的计算中，取相邻组的组距为开口组组距进行计算。,【例3】某季度某工业公司18个企业产值计划完成情况如下：,以标志值最大值和最小值之差所表明的全距反映了标志值变动范围的绝对幅度；而将全距与算术平均数对比称为全距系数，它表明标志值变动范围的相对幅度。,在【例2】中，算术平均数为：全距系数为：,缺点: 仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布情况； 受个别极端值的影响过于显著，不符合稳健性和耐抗性的要求。,全距的特点,优点: 计算方法简单、易懂；,二、平均差,平均差是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用 表示。平均差越大，表明标志变异程度越大；反之，平
4、均差越小，表明标志变异程度越小。, 简单平均差适用于未分组资料,根据资料是否分组，可有简单平均式和加权平均式两种。,【例4】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。,解：,即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。, 加权平均差适用于分组资料,【例5】计算下表中某公司职工月工资的平均差。,解：,即该公司职工月工资的平均差为138.95元。,优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。,平均差的特点
5、,平均差系数,第三节 标准差和标准差系数,一、标准差的意义及计算方法,标准差是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用 来表示；标准差的平方又叫作方差，用 来表示。, 简单标准差适用于未分组资料,标准差的计算分为简单标准差和加权标准差两种。,【例6】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。,解：, 加权标准差适用于分组资料,【例7】计算下表中某公司职工月工资的标准差,解：,（比较：其工资的平均差为138.95元）,即该公司职工月工资的标准差为167.9元。,标准差的特点,不易受极端数值的影响，能综合反映
6、全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算。,标准差的简便运算,【例8】某地区7个储蓄户的存款余额分别为（百元）：12.0，12.5，14.0，15.0，16.0，18.0，19.5。计算它们的标准差。,计算表如下：,解：,【例9】用下面的资料计算420户居民耗电量的标准差。,解：,二、标准差系数,【例10】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。,解：,因为 ，所以一班平均成绩的代表性比二班大。,三、是非标志标准差和标准差系数,均
7、 值,标 准 差,是非标志总体的指标,方差,标准差系数,【例11】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。,解：,四、标准差的数学性质,（一）变量的方差等于变量平方的平均数减变量平均数的平方。,（二）变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常数的方差。,（三）两个独立随机变量和的方差，等于这两个随机变量方差的和。,（四）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。,常用的几种标志变异指标,概 念 计 算 特 点,数列中最大值 与最小值之差,1极差（R）,R=最大值-最小值,优点：容易理解， 计算方便 缺点：不能反映全部数据分布状况,2平均差（A.D）,各标志值与 均值离差绝 对值的算术 平均,简单：,加权：,优点：反映全部数据分布状况 缺点：取绝对值 ,数字上 不尽合理,概 念 计 算 特 点,各标志值与均值离差平方的平均。 方差的平方根（取正根）,3方差（2） 和标准差(),优点：反映全部数据分布状况，数字上合理。 缺点：受计量单位和平均水平影响，不便于比较,4标准差系 数（V）,标准差与均值 之商，是无量 纲的系数,简单：,加权：,优点：适宜不同数据集的比较 缺点：对数据结构变化反应不灵敏,谢谢观赏,
