1、第一节 函数,一、集合 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数与复合函数 五、初等函数 六、双曲函数,一、集合,具有某种特定性质的事物的总体；,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,元素a属于集合M:,元素a不属于集合M:,记作,记作,定义,集合的表示法：,列举法,描述法,集合间的关系:,例1：数集,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,它们间关系:,例2,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,运算,设A、B是两集合,则,交 “AB”,xxA且xB,并 “AB”,xxA或xB,差“A-B”,xxA但xB,其运算律：,补（余）,I-A,其中I为全
2、集,（1）A B= BA,AB =BA,（2）（AB )C =A(B C),(A B)= A(B C),（3） （AB ) C =(A C )(B C),（A B ) C =(A C ) (B C),注意,（4）,A与B的直积AB,(x,y)xA且yB,例如：R R=,(x,y)xR且yR,表示xoy面上全体点的集合,R R常记为,区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,以上都是有限区间，以下是无限区间：,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,邻域:,注意：邻域总是开集。,记作,常量与变
3、量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,二、函数概念,定义,设x和y是两个变量，,D是一给定的数集。,如果对于每个数x,D,变量y按照一定法则总有确定,的数值和它对应，,则称y是x的函数，,记着y=f(x).,数集D叫做这个函数的定义域，,X叫做自变量，,y叫做因变量。,函数的三要素,自变量x,因变量y,对应法则f,1.函数的定义域D,2.函数的对应法则 y=f(x),3.函数的值域w=y|y=f(x),xD,注意：,如,
4、就不是同一个函数，为什么？,2求定义域的方法：,应用题由实际意义确定；,形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,1.当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。,这种函数称单值函数，否则称多值函数。,为单值函数，,凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数,例如，,3.,有界,无界,1函数的有界性:,三、函数的几种特性,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,四、反函数与复合函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,注意：,1.直接函数的定义域（或值域）是其反函数的值域（或定义域）;
5、,2.单值函数的反函数不一定是单值函数。,如y=a+bx 的反函数为y=(x-a)/b。,复合函数,设有函数 y=u2 和函数 u=1-sinx,则 y=(1-sinx)2,是两者的复合函数。,一般地:,若函数y=f(u)的定义域为D1,U=(x)的定义域为D2,值域w2=uu=(x)xD2,且W2D1,这样得到的,以x为自变量,y为因变量的函数,称为由函数,y=f(u),和u=(x),复合而成的复合函数,其中u称为中间变量。,函数还可进行三重，四重和多重复合。,y=f(x),XW2D1,注意：,条件W2D1必不可少，,否则两个函数就不一定能构成一个,复合函数。,和u=2+x2,就不能构成一个复合函数。,(值域w2为2,)，定义域 D1为-1，1),如y=arcsinu,五、初等函数,基本初等函数,1、幂函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5、反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,六、双曲函数,思考题：双曲函数是不是初等函数？,双曲函数常用公式,奇函数.,偶函数.,奇函数,有界函数,四、小结,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),
