1、2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,1,有了定义在集代数A上的测度，我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张？最后得到 “测度扩张定理”。首先必须明白什么叫“扩张”？ 定义1.2.3 A1，A2是上的两个非空集合类，且A1 A2， i是Ai的测度(i=1,2)，若对AA1 ,有1(A)=2(A)， 则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。,二、测度的扩张定理,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,2,称F上的v*是由A上的v所引出的外测度。 (所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。) 注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。 外测度不见得
2、是测度！,以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度,1、F上的外测度*(A),对任意A F，定义,SA,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,3,下确界：,对于给定的数集S=x，若数满足条件：(1) 是S的下界，即对xS，有x;(2)对任何大于的数，一定存在S中某个 数x0，使得x00, x0S,使得 x0+)则称为数集S的下确界，记作： =inf S,例：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,4,引理1.2.1 由集代数A上的测度引出的F上的外测度*，满足：,下面讨论外测度的性质：,证明：（1）因AA，由外测度定义，有： * (A) (A) 因此，只需证明* (A)
3、 (A),不减性,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,5,综上所述(A)= *(A),下面证明* (A) (A)，只需说明(A)为A的所有覆盖的测度和的下界即可,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,6,即：外测度是单调上升的函数。,即覆盖B的集合序列一定覆盖A,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,7,则结论显然成立。,由定义：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,8,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,9,为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入 *可测集的概念，并构成一个新的集合类A * ，从下面的分析可以看到，该集合类A *不
4、仅为-代数，而且 * 是A *上的测度。,问题： 外测度 * 在F上未必满足-可加性!,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,10,2、 *可测集,证明：必要性显然成立 下面简单说明充分性：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,11,由引理1.2.1，有 *()=0由引理1.2.1(3)知外测度函数 *具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取,我们记A *为所有 *可测集组成的集合类。,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,12,引理1.2.3 A *满足： （1） A *是-代数；(若集代数对可列不交并封闭则为-代数）,证明： （1） 首先证明A *是集代数
5、 a、 *()=0，D ，有：,（1.2.4）式的定义具有对称性, A *,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,13,则有：AB A *,综上所述知A *是集代数。,（1.2.5）,c、A，BA *，有：ABA * 若A，BA *，则对D ，有：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,14,下面说明A *是-代数，只需证A *对可列不交并运算封闭。设An A *，n=1,2,， Ai Aj=，ij，则：对D，有：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,15,令n，有：,A * ，则A *是-代数。,（1.2.6）,由前面结论，有：,2018/10/12,北京邮电
6、大学电子工程学院,16,引理1.2.3 A *满足：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,17,由前面的结论，有:,由（1.2.6）式：,结论得证。,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,18,（3）欲证 *是A *上的测度，只须说明 *在A *上满足-可加性。,考虑到v*()=0，所以A A *上，有： v*(A)0 则v*是A *上的测度。 整个引理的证明完毕。,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,19,3、测度扩张定理,问题： A *是否是包含A的-代数？, *是A *上的测度, *不降，满足次可加性,？,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,
7、20,3、测度扩张定理,若A *是包含A的-代数，则 *便是定义在A上的测度在A *上的一个扩张；进一步地，这样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将 扩张到A *上，而只需扩张到(A)即可。,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,21,定理1.2.4 设是的集代数A上的测度，则在(A) 上存在一个扩张；如果在A上是-有限的，则在(A) 上的扩张是唯一的。,证明：显然第一部分只需证： A A *,A A ， D，0，存在A 中集序列An，n=1,2,使得,这是因为若A A *，则(A ) A * , *是A *上的测度，则是(A )上的测度，且对 于是 *是 在(A ) 上的扩张。,2
8、018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,22,由*是A上的测度，且,由的任意性，则有：,即：AA *，则A A *,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,23,首先证明：若1，2是在(A)上的任意两个扩张，证明对A (A)及任意的正整数n，有： 1(ADn)=2 (ADn) （1.2.8）,第二部分：唯一性A是集代数， 是A上的-有限测度，则存在：,再证明对A (A)，有1(A)=2 (A),2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,24,对给定的n，令：=A：A (A)， 1(ADn)=2 (ADn) 显然 A ，且 (A)。 （ A A ，因A 为集代数，则： ADn
9、 A， 必有： (ADn)= 1(ADn)=2 (ADn)，则A ） 若能证明为单调类，则 (A) 另： A为集代数，则： (A)= (A) 所以： (A)，即： = (A)，结论得证。,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,25,下面证明为单调类：,Ak ，Ak ，则： 1(Ak Dn)=2 (Ak Dn)2 (Dn)=(Dn)+，k=1,2, 根据测度的连续性，有：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,26,一般情形：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,27,三、测度的完全化初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合BA A ，且P(A)=0，但B未必属
10、于A ，即B未必是事件，未必有概率。为了克服这个问题，必须将A上的测度完全化。即根本的问题在于零测集的子集未必有概率。,定义1.2.4 设是-代数F(或集代数A )上的测度,如果AA， (A)=0，B A，则B F (或 A)，因而必有(B)=0 ，则称为F (或A )上的完全测度。 以下介绍如何将-代数F上的测度完全化？,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,28,定理1.2.5（测度的完全化）设是-代数F上的测度，记：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,29,有：,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,30,主要证明思路：,具体证明过程略,2018/10/12,北京邮电大学电子工程学院,31,测度的完全化,测度完全化的好处在于：假设某个依赖于w的性质在某个零测集N之外成立，则使此性质不成立的w的集就是N的一个子集，一般来说，它不一定属于F，但它属于 ，且它的 测度为零。有了这个例外集的可测性有时是方便的。,
