1、例题选讲,解 A表示“三本书放在一起”,总的基本事件数为,A的有利事件数为,所以，A事件的概率为,例1 将10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本 书放在一起的概率。,解1 A表示“钱额总和超过一角”,总的基本事件数为,A事件要发生，则至少应取一个5分硬币，否则 最多只可得8分钱,所以，A事件的概率为,A事件的有利事件数为,例2 袋中有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币， 从中任取5个，求钱额总和超过一角的概率。,解2 A表示“钱额总和超过一角”,总的基本事件数为,A事件要发生，则至少应取一个5分硬币，两个 2分硬币，否则最多只可得9分钱,所以，A事件的概率为,A事件的有利事件数为,错误 A
2、表示“钱额总和超过一角”,实验的样本空间为5分，6分，16分， 共12个样本点,A事件包含11分，12分，16分等6个样本点,所以，A事件的概率为,错误分析：实验为任取5枚硬币，每枚硬币被 取到的机会均等，但是，钱额总和为5，6， 16的机会是不均等的，样本空间的形成不对。,例3 从12000中随机取一整数，问取到的整数 能被6或8整除的概率是多少？,解 总的基本事件数为,设A表示“取到的数能被6整除” ，B表示“取到的数能被8整除” ，则,所求概率为,讨论,把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前 三个盒当中有空盒的概率.,解 设 表示第 个盒空着,则所求概率为,讨论,把6个小球随
3、机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前 三个盒当中有空盒的概率.,另解 设A表示“前三个盒中有空盒”,则,所以,错误：重复计算,1,2,5,4,6,3,1,2,5,4,6,3,解 设A，B，C分别表示三人破译密码，则,设D表示“密码被破译”，则,例4 三个人独立地破译一个密码，他们各自能破译的 概率分别为1/5，1/3，1/4.求密码被破译的概率。,例5 已知5把钥匙中有一把能打开房门，因开门 者忘记哪把能开门，于是逐把试开，求前三次能打开 门的概率。,解 设Ai表示“第i次打开门”，i1，2，3。,B表示“前三次能打开门”,则,所求概率为,例6 从(0,1)中随机地取出两数，求两数之和小于
4、6/5的概率。,解 设所取的数分别为x,y，设A表示“两数之和小于6/5”,则,A发生,如右图所示，所求概率为,A,例7 在长度为a的线段内任取两点将其分成三段， 求他们可以构成三角形的概率。,解 如图：设插入的分点为C，D，线段AC长为x， CD长为y，则DB长为a-x-y。,设A表示“分成的三段能构成三角形”，则,则x,y应满足条件,A发生,例7 在长度为a的线段内任取两点将其分成三段， 求他们可以构成三角形的概率。,解 如右图所示，所求概率为,A,而A占据的面积为,例8 随机地向半圆 （a为正常数）内投掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小
5、于 的概率为多大？,解 设A表示“原点与该点的连线与x轴的夹角小于 ”,由题设可知：,因为,所以,解 A表示发报台发出信号“.” ，B表示收报台收到信号“.”,则,例9 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”，由于 通信系统受到干扰，当发出信号“.”时，收报台分别以概 率0.8和0.2收到信号“.”和“-”，同样，当发报台发出信号 “-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-” 和“.” ， 求（1）收报台收到信号“.”的概率；（2）当收报台收到 信号“.”时，发报台确系发出信号“.”的概率。,例10 一批产品中96%是合格品，检查产品时，一件合格品被误认为是次品的概率是
6、0.02，一件次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在被检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。,解 设A表示“产品是合格品”， B表示“产品被检查 为合格品”，则,则所求概率为,例11 有两台车床生产同一型号零件，甲车床的产量是乙车床的1.5倍，甲车床的废品率为2%，乙车床的废品率为1%，现任取一零件检查是废品，问该产品是由甲车床生产的概率是多少？,解 设A表示“甲车床生产的产品”， B表示“乙车床 生产的产品”，C 表示“废品”，则,则所求概率为,例12 对以往数据进行分析，结果表明：当机器调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动
7、时，机器调整良好的概率是75%.设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整良好的概率是多少？,解 设A表示“机器调整良好”， B表示“产品合格”，则,则所求概率为,例13 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中含0 ， 1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只， 若无次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,知识点,全概率公式,Bayes定理,解 设Ai表示“箱中有i件次品”（i=0，1，2）；B表示“顾客买下整箱玻璃杯”，则,所以,例14 盒内有1
8、2个大小相同的球，其中5个红球，4个白球，3个黑球，第一次任取2球，第二次从余下的10个球中任取3个（均为不重复取球）。如果发现第二次取到的3个球中有2个红球，比较第一次取到几个红球的概率最大。,解 设Ai表示“第一次取到i个红球”， B表示“第二次取到2个红球”，则,所以，第一次取到一个红球的概率最大。,在圆周上任取三点A、B、C，求ABC为（1）锐角三 角形；（2）钝角三角形；（3）直角三角形的概率,讨论,解法1 如图，设圆半径为R，以A为起点，逆时针方向为正，,则x，y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则A发生的充分必要条件是,或,讨论,解法1 如图
9、，设圆半径为R，以A为起点，逆时针方向为正，,则x，y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则A发生的充分必要条件是,或,所以,讨论,解法1 如图，设圆半径为R，以A为起点，逆时针方向为正，,则x，y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则B发生的充分必要条件是,或,所以,讨论,解法1 如图，设圆半径为R，以A为起点，逆时针方向为正，,则x，y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则C发生的充分必要条件是,或,所以,在圆周上任取三点A、B、C，求ABC为（1）锐角三 角形；（2）钝角三角形；（
10、3）直角三角形的概率,讨论,则A发生的充分必要条件为,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,解法2 如图，设圆半径为R，三角形ABC的最大角为,则,在圆周上任取三点A、B、C，求ABC为（1）锐角三 角形；（2）钝角三角形；（3）直角三角形的概率,讨论,则B发生的充分必要条件为,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,解法2 如图，设圆半径为R，三角形ABC的最大角为,则,在圆周上任取三点A、B、C，求ABC为（1）锐角三 角形；（2）钝角三角形；（3）直角三角形的概率,讨论,则C发生的充分必要条件为,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角
11、、钝角、直角三角形”,解法2 如图，设圆半径为R，三角形ABC的最大角为,则,1、将线段AB任意分成三段AC、CD、DB，试求这 三段可构成三角形的概率。,思考题,2、在线段AE上任意插入三点B,C,D，试求线段AB、AC、AD可构成三角形的概率。,解答,解答,将线段AB任意分成三段AC、CD、DB，试求这 三段可构成三角形的概率。,思考题,解 如图，设AB长为1，AC长为x，CD长为y，则DB长为1-x-y,于是x，y应满足,设A表示“三段可构成三角形”,则A发生的充分必要条件是,所以，所求概率为0.25,在线段AE上任意插入三点B,C,D，试求线段AB、AC、 AD可构成三角形的概率。,思考题,解 如图，设AE长为1，AB长为x，AC长为y， AD长为z,则x，y，z应满足,设A表示“线段AB、AC、AD可构成三角形”,则A发生的充分必要条件是,所以，所求概率为,
