1、第2章 复变函数的积分,2.1: 复变函数的积分,2.2: 柯西-(古萨)积分定理,2.3: 复合闭路定理,2.4: 科西积分公式,2.5:几个重要的定理,2.6: 补充例题,2.1 复变函数的积分,.积分的定义：,说明： (1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.,(1)若 f(z) 沿L 可积，且 L 由 L1 和 L2 连接而成，则 （2.1.6） (2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即 （2.1.7） (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即,2 复积分的基本性质,(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改
2、变符号.即 （2.1.9）其中， L- 为 L 的负向曲线,闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点曲线内部始终位于P点的左方,2.1.3 典型实例,公式（2.1.2）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分 例2.1.1 计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段,【解】 直线的方程可写成 或 于是,2.1.3：计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数,解：的方程为,所以：,结论非常重要，必须记住：其特点是与积分路线的圆周中心及半径无关,2.2柯西古萨
3、基本定理,如果函数在单连通区域内处处解析那么函数沿内任何一条封闭曲线的积分为零,柯西古萨基本定理：,如果曲线是区域的边界，在内及上解析即在闭区域上解析,则,任何两个原函数相差一个常数,2.2.3 典型应用实例,例2.2.2 （非闭合环路积分中的换元积分法） 计算积分,【解法1】,在整个复平面上解析，且,运用复积分的牛顿莱布尼兹公式有,例2.2.4 计算积分,因而积分与路径无关，可用分部积分法得,【解】 由于,在复平面内处处解析，,2.4 柯西积分公式,2.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式 定理2.4.1 （柯西积分公式） 如果 在有界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内
4、部全含于D, 为L内的任一点，那么 (2.4.1) 称为柯西积分公式, 简称柯西公式但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别,它表明：对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了 特别地，从这里我们可以得到这样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等,【解】（1）注意到 在复平面内解析，而 -i 在积分环路C内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数 在 内解析，而 i 在 内， 由柯西积分公式得,【解】根据柯西积分公式，得到,故得到,设 f (z) 在区域 B 内解析，在边界 C 上连续，则 任意阶导数 在区域 B 内函数 f (z) 的任意阶导数存在，且：,2. 模数原理 定义在闭区域上的函数 f (z) 的模有界，且只能 在边界上取最大值。,2.5 柯西积分公式的几个重要推论,4. 中值定理 若 B 为圆 ，则有：,5. Morera 定理：设函数 f (z) 在区域 B 内连续，且沿区域内任意围线积分为零，则该函数在区域 B 内解析。,3. Liouville 定理 若 B 为复平面，且z时，f (z) 有界，则 f (z) 必为常函数。,2.6 本章典型综合实例,1,y,O,L,x,解题思路,当 ，故所有 的项积分为零；只有当 时积分 故得到,第二章作业,
