1、高 等 数 学,中国民航大学理学院 陶志E-mail:,第四节 函数的极限,本节我们将数列极限的概念、理论和方法推广到一元函数。数列 xn 的极限是研究当自变量 n “离散地”取正整数并且无限增大时函数值 f (n)= xn 变化趋势的。然而在实际问题中，更多的是要求讨论当自变量 x 在定义区间上“连续地”变化时，函数值 f(x) 的变化趋势,也就是研究函数极限问题。二者的不同点主要表现在自变量的变化状态上，前者是“离散变量”，后者是“连续变量”。关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：,一、当自变量 x 的绝对值无限增大时，f(x) 的变化趋势,二、当自变量 x 无限
2、地接近于 x0 时，f(x) 的变化趋势,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察看出：,问题:,如何用数学语言刻画下述过程:,要点:,(1)过程,有,定义:,设函数,总存在,着正数,恒有,记作,或,(当,注:,根据上述定义,描述如下:,“,恒有,”,单侧极限:,情形:,即,恒有,情形:,恒有,定理,且,即,例 1,证明,证,因为,于是,可取,恒有,故,证毕.,例 2,用极限定义证明,证,对于任意给定的,要使,只要,即,就可以了.,因此，,对于任意给定的,取,恒成立.,所以,注 ：,同理可证：,例 3,证明,证,由,现在，,令,于是，,若取,就有,即,证毕.,二、自变量趋向有限
3、值时函数的极限,问题:,如何用数学语言描述下述过程:,要点:,(1)过程,有,定义,若对任意给定的正数,(不论它多么小),总存,在正数,不等式,定义.,记作,或,(当,恒有,注意:,1.,无关;,2.,定义的几何解释:,例 4 (1),证明,证,任给,任取,恒成立，,例 4 (2),证明,证,任给,取,成立，,例 5,证明,证,任给,要使,只要取,就有,例 6,证明:,证,任给,要使,只要,且,三、左、右极限,左极限,恒有,记作,或,右极限,恒有,记作,或,注意,定理,例 7,证,左右极限存在但不相等.,不存在.,例 8,设,求,解,因为,即有,例 9,设,求,解,而,四、函数极限的性质,与收
4、敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相,应性质.,些性质,至于其他形式的极限的性质,只需作出些修,改即可得到.,唯一性定理,则极限唯一.,有界性定理,若,则存在常数,和,有,保号性定理,若,且,(或,则,故若取,则,使得当,时,有,证毕.,证,因,(或,推论,若,(或,五、子序列收敛性,定义,中有,数列,则称数列,定理,若,时的一个子序列,则有,证,使当,时,恒有,又,且,对上述,恒有,从而有,故,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是,都存在且相等.,例如,设,则,它的任何子列的极限,例如,证,取,而,二者不相等,作业：习题14,3； 4（1）、（2）； 5； 6 .,补充作业题：,设,求,课间休息,
