1、苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 1 页 共 13 页专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心 周坤1、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题） ，可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为 n）的方程，然后 n 的系数为 0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例 1、已知数列 的前 项和为 = ，在数列 中， =8，nanS235nb1=0，问是否存在常数 使得对任意 ， 恒为常数 ，若存在求出64nbclogncaM常
2、数 和 ,若不存在说明理由.cM解析：假设存在常数 使得对任意 ， 恒为常数 ，clncnb = ，nS235当 =1 时，则 = =8，1aS当 2 时， = = = ，nn2235(1)5()n62n当 =1 适合， = ，na62又 =0， = ，14nb1nb64数列 是首项为 8，公比为 的等比数列，n = = ，nb18()64962n则= = = ，logncnab96lognc2(96)log2an(1log2)9log2aan苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 2 页 共 13 页又对任意
3、， 恒为常数 ，nlogcnabM =0，解得 =2，6(1log2) = =11，M9a存在常数 =2 使得对任意 ， 恒为常数 =logcnab二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于 0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。
4、例 2、 【2010 南通一模】设等差数列 na的前 项和为 nS， 且 513349aS， （1）求数列 的通项公式及前 项和公式；（2）设数列 nb的通项公式为nabt，问: 是否存在正整数 t，使得 12mb， ，(3)mN，成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由.【解】 （1）设等差数列 na的公差为 d. 由已知得513249a，2 分即 1873ad，解得12.d，4 分.故 2nnS， .6 分苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 3 页 共 13 页（2）由（1 ）知2
5、1nbt.要使 12mb， ， 成等差数列，必须 21mb，即321mtt，8 分.（3）整理得43t， 11 分因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2，3，5.当 2时， 7；当 3时， 5m；当 t时， 4m.故存在正整数 t，使得 12b， ， 成等差数列. 15 分例 3、设数列 的前 n项和 ，数列 满足 .na2nSnb*()namN（）若 成等比数列，试求 的值；128,bm（）是否存在 ，使得数列 中存在某项 满足 成等差数列？mnbtb*14,(,5)tt若存在，请指出符合题意的 的个数；若不存在，请说明理由.解：（）因为 ，所以当 时， 3 分2nS212nnaS又当
6、 时， ，适合上式，所以 （ ） 4 分1n1a *N所以 ， 则 ，由 ，2nbm12835,1bbm218b得 ，解得 （舍）或 ，所以 7 分2315()099（）假设存在 ，使得 成等差数列，即 ，则*14,(,5)tbNt412tb，化简得 12 分7122tmm367tm所以当 时，分别存在 适合题意，5,346,918,34,25196,30,98t即存在这样 ，且符合题意的 共有 9 个 14 分苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 4 页 共 13 页例 4、 【2010 徐州三模】已知数列
7、是各项均不为 0 的等差数列， nS为其前 项和，且满足 ，na21naS令 ，数列 的前 n 项和为 .1nnbnbnT（1）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和为 ；abnT（2）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有的,m(1)1,m的值；若不存在，请说明理由.,mn解：（1）因为 是等差数列，由 ，na212()(1(2)nn naSa又因为 ，所以 ，2 分0n21由 11()()2nbann所以 6 分)23511nT(2)由(1)知， ， 所以 ，1n1,32mnTT若 成等比数列，则 ，即 8 分1,mnT2()()24163nm解法一：由 ，可得 ，2416
8、3n2所以 ， 12 分20从而： ，又 ，且 ，所以 ，此时 612mN1m212n故可知：当且仅当 ， 使数列 中的 成等比数列。16 分1nnT,mn苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 5 页 共 13 页解法二：因为 ，故 ，即 ，121366n2146m2410m分从而： ， （以下同上） 612m3、三个存在型变量-连续的解题思路：这类问题的形式一般是， “是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列） ”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我
9、们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像” ）求解。例 5、 【扬州 2010 一模】已知数列 ， .na(0,0,*)npqpqRnN求证：数列 为等比数列；1n数列 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；n设 ，其中 为常数，且 ，(,)|3,*nAbkNkkN，求 AB.|5,nBc解： = ， ，anpq11 ()()nnnnapqpqp 为常数0,21n数列 为等比数列-4 分1nap取数列 的连续三项 ， 12,(,)nnaN ，21 22212() ()n nnnnnqpqpq 苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Educa
10、tion Development Center第 6 页 共 13 页， ，即 ，0,0pq2()0npq212nna数列 中不存在连续三项构成等比数列； -9 分na当 时， ，此时 ；1k315nnkBC当 时， 为偶数；而 为奇数，此时 ；235nBC当 时， ，此时 ；-12 分5knnk当 时， ，发现 符合要求，2351下面证明唯一性（即只有 符合要求） 。n由 得 ，325nn32()1设 ，则 是 上的减函数，()()xf 32()()5xfR 的解只有一个1f从而当且仅当 时 ，即 ，此时 ；n32()15n325nn(1,5)BC当 时， ，发现 符合要求，4k下面同理可证
11、明唯一性（即只有 符合要求） 。n从而当且仅当 时 ，即 ，此时 ；2n34()15n345nn(2,5)BC综上，当 ， 或 时， ；1kkBC当 时， ，(,)BC当 时， 。 -16 分4k254、三个存在型变量-不同的解题思路：这类问题的形式一般是， “是否存在不同的三项，恰好成等差数列苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 7 页 共 13 页（或等比数列） ”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数
12、列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。具体的，该类问题可以分成三类。其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）例 6、 【扬州 2010 三模】已知数列 满足： （ 为常数） ，na21+,4=,na为 偶 数为 奇 数 ,-,*,nNaR数列 中， 。b21n求 ；123,证明：数列 为等差数列；n求证：数列 中存在三项构成等比数列时， 为有理数。ba解：由已知 ，得 ，12a12a， 。 214a324 分 ，2211nnbaa2212 2212111 1 3()()44nnn nn naaaa ，又 ，1nb13ba苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personaliz
13、ed Education Development Center第 8 页 共 13 页数列 是首项为 ，公差为 的等差数列。9nba1分证明：由知 ， 10 分n若三个不同的项 成等比数列， 、 、 为非负整数，且 ，,aijkijkijk则 ，得 ， 12 分2()()aijk2()ij若 ，则 ，得 = = ，这与 矛盾。 14 分0k20jikijk若 ，则 ，2ijaikj 、 、 为非负整数，k 是有理数。16 分a例 7、等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 ，S39 3 .2 2(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bn (nN*)，求证：数列bn
14、中任意不同的三项都不可能成为等比数Snn列(1)解：由已知得Error!d2，故 an2n1 ，Sn n(n )2 2(2)证明：由(1)得 bn n .Snn 2假设数列bn中存在三项 bp、bq、br(p、q 、r 互不相等 )成等比数列，则 rpqb2即(q )2(p )(r )，2 2 2(q2pr)(2q pr) 0.2苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 9 页 共 13 页p，q，rN*，Error! 2pr，(pr)2 0，(p r2 )pr.这与 pr 相矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可
15、能成为等比数列其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾） ；例 8、 【无锡市 2010 年秋学期高三期末考试】由部分自然数构成如图的数表，用 表示第 行第 个数（ ） ，()ijaij*,ijN使 ，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第1iia行中各数之和为 。*()nNnb（1）求 ；6（2）用 表示 ；n1（3）试问：数列 中是否存在不同的三项 ， ， （ ）恰好nbpbqr*,pN成等差数列？若存在，求出 ， ， 的关系；若不存在，请说明理由。pqr（1） 2 分694b（2） 1()
16、1()2(1).nnnaa苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 10 页 共 13 页12(1)().nnaa2= ； 6 分nb（3） ， 8 分12n12()nnb所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列， 9 分n13则 11 分12.nnb若数列 中存在不同的三项 恰好成等差数列，n*,(,)pqrbN不妨设 ，显然 是递增数列，则 12 分pqrn2qprb即 2 ，化简得：111(3)(32)(3)pr（* ）14 分qrpr由于 ，且 ，知 1， 2 ，*,Nqrrpr所以（*）式左边为偶数，右边
17、为奇数， 故数列 中不存在不同的三项 恰好成等差数列。nb*,(,)pqrbN16 分例 9、 【2010 届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】已知数列a n的通项公式为 an = (nN).23n + 23n 1求数列a n的最大项；设 bn = ，试确定实常数 p，使得 bn为等比数列；an + pan 2设 ，问：数列 an中是否存在三项 ， ， ，使数列 ， ，*,Nmmanpman是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.p解 由题意 an = 2 + ,随着 n 的增大而减小,所以 an中的最大项为 a1 = 4.4 分43n 1b n = = =
18、，若b n为等比数列，(2 + p)(3n 1) + 44 (2 + p)3n + (2 p)4苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 11 页 共 13 页则 b bnbn+2= 0(nN )所以 (2 + p)3n+1 + ( 2 p)2 2 + p)3n + (2 p)(2 + p)3n+2 + (2 p) = 2 n+10(nN)，化简得(4 p 2)(23n+1 3n+2 3n ) = 0 即 (4 p2)3n4 = 0,解得 p = 2. 7 分反之,当 p = 2 时,b n = 3n,bn是等比数
19、列;当 p = 2 时,b n = 1,bn也是等比数列.所以,当且仅当 p = 2 时b n为等比数列. 10 分因为 ， ， ，若存在三项 ， ， ，使数列431ma4231nna31ppamanp， ， 是等差数列，则 ，所以np m= ，12 分2()2p化简得 （*） ，31)32npnmn因为 ，*,N所以 ， ，1所以 ， ， （*）1pmnpn3nmn左边 ，3(23)()0p p右边 ，所以（*）式不可能成立，nmnnm故数列a n中不存在三项 ， ， ，使数列 ， ， 是等差数列. 16 分anpmanp例 10、 【无锡市 2011 一模】已知数列 的首项 ， na135
20、1,12,2nna（1）求证：数列 为等比数列；n（2） 记 ，若 ，求最大的正整数 12nnSa 10nSn（3）是否存在互不相等的正整数 ，使 成等差数列，且,ms,s成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由1,msna解：（1） ， ，2 分123nna13nna且 ， ， 3 分100()*Nn苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 12 页 共 13 页数列 为等比数列 4 分1na（2）由（1 ）可求得 ， 5 分12()3nn12()3nna，7 分21211()3n nnSaa 1
21、3nn若 ，则 ， 9 分0n0nmax9（3）假设存在，则 ， 10 分22,(1)(1)nsms ， 12 分2na 233(nms化简得： ，13 分mns ，当且仅当 时等号成立15 分33sn又 互不相等，不存在16 分,ns其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等” ，从而找出矛盾，说明不存在。例 11、 【2012 上海一联】设等比数列 的前 项和为 ，已知nanS*12()naSN(1)求数列 的通项公式；(
22、2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成公差为 的等差数列(如：在 与n1a 2nd1a之间插入 1 个数构成第一个等差数列，其公差为 ；在 与 之间插入 2 个数构成2 12a3苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center第 13 页 共 13 页第二个等差数列，其公差为 ，以此类推)，设第 个等差数列的和是 . 是否存在2dnnA一个关于 的多项式 ，使得 对任意 恒成立？若存在，求出这个n()gn(nnAgd*N多项式；若不存在，请说明理由；(3)对于(2) 中的数列 ，这个数列中是否存在不同的三项123nd ，
23、(其中正整数 成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；mkpd，mkp若不存在，说明理由.解：(1)设 ，由 知， ，2 分1naq)(2*1NnSan 121()2aq解得 ， 4 分1233n(2)依题意， ；1124nnnd1 1(23)(24()3n nA要使 ，则 ， 8 分()nnAg11()3()nng ，即存在 满足条件；10 分222()3(3)对于(2) 中的数列 ，若存在不同的三项 (其中正整数 成等差数ndmkpd，mkp，列)成等比数列，则 ，即2kmp1112434()k ，2kmp ，即 14 分11()2kp 由可得 ，与 是不同的三项矛盾，kpmkd，不存在不同的三项 (其中正整数 成等差数列)成等比数列. 16 分pkp，
