数字信号处理作业-答案.doc

1、数字信号处理作业1DFT 习题1. 如果 是一个周期为 的周期序列，那么它也是周期为 的周期序列。把)(nxNN2看作周期为 的周期序列，令 表示 的离散傅里叶级数之系数，再把)(x )(1kX)(nx看作周期为 的周期序列，再令 表示 的离散傅里叶级数之系数。当然，22是周期性的，周期为 ，而 也是周期性的，周期为 。试利用 确定1kX )(1kX。 （76-4）)(222. 研究两个周期序列 和 。 具有周期 ,而 具有周期 。序列)(nxy)(nxN)(nyM定义为 。)(nw)(a. 证明 是周期性的，周期为 。Mb. 由于 的周期为 ，其离散傅里叶级数之系数 的周期也是 。类似地，由

2、xN)(kX于 的周期为 ，其离散傅里叶级数之系数 的周期也是 。 的离散)(y Y)(nw傅里叶级数之系数 的周期为 。试利用 和 求 。 （76-5）)(kWkW33. 计算下列各有限长度序列 DFT（假设长度为 N）:a. )(nxb n00c （78-7）1a4. 欲作频谱分析的模拟数据以 10 千赫速率被取样，且计算了 1024 个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。 （79 -10）45. 令 表示 点序列 的 点离散傅里叶变换)(kXN)(nx(a） 证明如果 满足关系式： ，则 。)( )1()nNx0)(X(b） 证明当 为偶数时，如果 ，则 。

3、 （80-14 ）2/56. 令 表示 点序列 的 点离散傅里叶变换， 本身也是一个 点序)(kXN)(nx)(kXN列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列 ，试用 求 。 （82-15 ）)(1nxx1n7. 若 为一个 点序列，而 为其 点离散傅里叶变换，证明：)(nxN)(kXN，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。 （82-16 ）10k2102XNn68. 长度为 8 的一个有限时宽序列具有 8 点离散傅里叶变换 ，如图所示。长度为 16 的)(kX一个新的序列 定义为：)(ny，试画出相当于为 奇 数为 偶 数xny02()的 16 点离散傅里叶变换的略图。 （86)(页-18）

4、k Xk 0 1 2 3 4 5 6 7 79. 令 表示 z 变换为 的无限时宽序列，而 表示长度为 N 的有限时()xn()Xz1()xn宽序列，其 N 点离散傅立叶变换用 表示。如果 和 有如下关1()kXz1()k系： 1()|, 0,2,kNzWXkN式中 。试求 和 之间的关系。 （93-22 ）2jNe()xn110. 令 表示序列 的傅里叶变换，并令 表示长度为 10 的一个)(jeX)(2/1)(nunx)(ny有限时宽序列，即 时， ， 时， ， 的 10 点离散傅里00y10叶变换用 表示，它相当于 的 10 个等间隔取样，即 ，试)(kY)(jeX)()10/2kjeX

5、Y求 （94-23）ny811. 讨论一个长度为 的有限时宽序列 ， 和 时， ，我们要求N)(nx01N0)(nx计算其 变换 在单位圆的 个等间隔点上的取样。取样数 小于序列的时宽 ；z)(XMMN即 ，试求一种得到 的 个取样的方法，它只要计算一次 点序列（这个M)(z序列是由 得来的）的 点离散傅里叶变换。 （96-25 ）)(nx12. 研究两个 时等于零的有限时宽序列 和 ，且0n)(nxy，将每一个序列的 20 点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变时当 时当 2)(8yx换，令 表示它的离散傅里叶反变换，指出 的哪些点相当于 与 线性卷积中nr )(nr)(nxy的点。 （9

6、6-26）910FFT 习题1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：，试指出如何用此程序来计算如下反变换：1,.0)()(10)/2( NkenxkXNnNj（193-8）,.)()(10)/2(kknj112. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本题中讨论了两种减少计算量的途径：a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换 和 的实序列 和 ，令1()Xk2()1()xn2为一个复序列， ， 为其离散傅里叶变换。令()gn()gnxjnG、 、 、 分别表示 的实部的奇数部分、实部的偶ORGkEROIGk()EI()k数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分

7、，试利用 、 、 和OR()ERk()OIG表示 和 。()EIk1()X2()kb. 假设 是一个 点的实序列，且 可以被 2 整除，令 和 为两个xnNN1()xn2点序列，其定义为：/2，1(),01,2./12),xnn试利用 和 求 。 （198-10 ）1(Xk2()Xk123. 研究一个有限长度序列 ，并且 和 时， 。假设我们想)(nx0n01nN)(x要计算在 平面内下列各点上 的 变换之取样：zz， ，式中 。试详细说出一种计算这些点上的)/2(kMjkrez1,.20M的有效方法。 （199 页-11）)X134. 研究一个长度为 的有限时宽序列 ，并且 和 时， 。我们

8、希M)(nx0Mn0)(nx望计算 变换 在单位圆上 个等间隔点上的取样，即在z10)()(NnzXN， 上的取样，试找出对下列情况只用一个 点离散傅里kNje)/2(,.2 N叶变换就能计算 的 个取样的方法，并证明之。)(z（a） M（b） （200-12）5. 表示长度为 10 的有限时宽序列 的傅里叶变换，我们希望计算 在频)(jeX)(nx )(jeX率 时的 10 个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取)9,.10)(/2kk样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性：(a) 直接利用 10 点快速傅里叶变换算法。(b) 利用线性调频 变换算法。 （201-13 ）z1

9、4156. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频 z 变换可以用来计算一个有限时宽序列 在 z 平面实 z 轴上诸点 的 z 变换 ，使()hnk()Ha) ;,01,.,kaNa为 实 数 1b) 0kz为 实 数c) a)和 b)两者都行；d) a)和 b)都不行，即线性调频 z 变换不能计算 在 z 为实数时的取样。 （203-()H15）16Hilbert 变换习题1 令 为 的一个实因果序列，已知 的 变换为()xn()xnz0()()nXzz上式为变量 的泰勒级数，所以它在以 z=0 为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。1z收敛区域包括点 z= ，事实上， 。我们说

10、 是解析（在其收敛区域内）()x()Xz的，表示对 X 加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据 的实部确定 ，条件是()()Xz为有限值的实因果序列。()xn令 为实（有限值的）因果序列，其 z 变换为：()()RIXjXz式中： 和 是 z 的实函数。RXI假设 时， 给定为jzeR（ 为实数）cos()jXe假设除了 z=0 外， 处处解析，试求 并表示成 z 的显函数。)z(z（建议用时域法解此题） （214-4）172 序列 的偶部定义为： ，假设 是一个有限时宽实序列，定()xn()2exn()xn义为

11、 和 时， 。令 表示为 的 点的离散傅立叶变换。0N()0XkN（a） 的离散傅立叶变换是否等于 Re ？()ex ()（b）试求出以 表示的 Re 的离散傅立叶反变换。 （228-15）n()k183 研究一个长度 N 的有限时宽实序列（即 n0,n N 时， =0） ，此处 N 为奇数。用()xn表示 的 M()Xk()xn点的离散傅立叶变换，因此令 表示 的实部。()RXk()（a） 试利用 N 来求能使 唯一确定 的最小 M 值（M=1,2 除外） 。()RXk()k（b） 如果 M 满足（a）中所确定的条件，则 可以表示为 和序列 的循环X()RXk()Uk卷积。请确定 。 （22

12、8-16）()Uk1(2/)0()NjMknXkxe194 研究一个复序列 x（n） ，x(n)=xr(n)+xi(n),其中 xr(n)和 xi(n)是实序列，序列 x(n)的 z 变换X(z)在单位圆的下半部分为零。即， 2 时，X(ej)=0. x(n)的实部为xr(n)=1/2,0,其 他试求 X(ej)的实部和虚部。205 令 H表示理想希尔伯特变换运算，即Hx(n)= k=-()hnxk式中 h(n)由（7.48）式给定。试证明下列特性：（a） HHx(n)=-x(n).（b） . (提示：利用帕斯维尔定理 )n=-()0xH（c） Hx(n)*y(n)=Hx(n)*y(n)=x(

13、n)*Hy(n),式中 x(n)和 y(n)为任意序列。 （233-19）212223Walsh 函数1 a) 时间序列 , =0,1,2,.7 为0 0 1 1 0 0 1 1 将其作离散 Walsh 变换ifjb)将上述序列 Hadamard 变换2 设输入序列 为0 0 1 1 0 0 1 1 , 并将此输入序列作 a=3 的并元移位，试求Wz (N)if3 给定两个时间序列 ，定义两个序列的并元时间域相关和并元时间域卷积为：jjf2a) 并元时间域相关为：1022112*Nmjjjj fffK 12,0Njb) 并元时间卷积为：1022112 Nmjjjj fff若 )(2211Wfj试证明：1) 并元相关定理 )(211mKj2) 并元时间卷积定理)()(2112Wj 提示： a 先证明 2)b 在证明过程中利用 n=(n m) n 关系式4 给定时间序列为 =1 2 1 1 3 1 1 2,求快速哈达玛变换系数B f(n), n=0,1,2.7if5 用快速算法求 =1,2,1,1,3,1,1,2的 Walsh 变换i6 设（0 1）区间的取样数为 N=23 求),4()3,4)2,4) jHjpjw WalalWal