1、1标 准 偏 差相 对 标 准 方 差 的 计 算 公 式准 确 度 ： 测 定 值 与 真 实 值 符 合 的 程 度绝 对 误 差 ： 测 量 值 （ 或 多 次 测 定 的 平 均 值 ） 与 真 （ 实 ） 值 之 差 称 为 绝对 误 差 ， 用 表 示 。相 对 误 差 ： 绝 对 误 差 与 真 值 的 比 值 称 为 相 对 误 差 。 常 用 百 分 数 表 示 。绝 对 误 差 可 正 可 负 ， 可 以 表 明 测 量 仪 器 的 准 确 度 ， 但 不 能 反 映 误差 在 测 量 值 中 所 占 比 例 ， 相 对 误 差 反 映 测 量 误 差 在 测 量 结 果
2、中 所 占 的比 例 ， 衡 量 相 对 误 差 更 有 意 义 。2例 ： 用 刻 度 0.5cm的 尺 测 量 长 度 ， 可 以 读 准 到 0.1cm， 该 尺 测 量的 绝 对 误 差 为 0.1cm； 用 刻 度 1mm的 尺 测 量 长 度 ， 可 以 读 准 到 0.1mm，该 尺 测 量 的 绝 对 误 差 为 0.1mm。例 ： 分 析 天 平 称 量 误 差 为 0.1mg, 减 重 法 需 称 2次 ， 可 能 的 最 大误 差 为 0.2mg, 为 使 称 量 相 对 误 差 小 于 0.1%， 至 少 应 称 量 多 少 样 品 ？答 ： 称 量 样 品 量 应 不
3、 小 于 0.2g。真 值 （ ） ： 真 值 是 客 观 存 在 的 ， 但 任 何 测 量 都 存 在 误 差 ， 故 真 值 只能 逼 近 而 不 可 测 知 ， 实 际 工 作 中 ， 往 往 用 “ 标 准 值 ” 代 替 “ 真 值 ” 。标 准 值 ： 采 用 多 种 可 靠 的 分 析 方 法 、 由 具 有 丰 富 经 验 的 分 析 人 员 经 过反 复 多 次 测 定 得 出 的 结 果 平 均 值 。精 密 度 ： 几 次 平 行 测 定 结 果 相 互 接 近 的 程 度 。各 次 测 定 结 果 越 接 近 ， 精 密 度 越 高 ， 用 偏 差 衡 量 精 密 度
4、 。偏 差 ： 单 次 测 量 值 与 样 本 平 均 值 之 差 ：平 均 偏 差 ： 各 次 测 量 偏 差 绝 对 值 的 平 均 值 。相 对 平 均 偏 差 ： 平 均 偏 差 与 平 均 值 的 比 值 。标 准 偏 差 ： 各 次 测 量 偏 差 的 平 方 和 平 均 值 再 开 方 ， 比 平 均 偏 差 更 灵 敏的 反 映 较 大 偏 差 的 存 在 ， 在 统 计 学 上 更 有 意 义 。相 对 标 准 偏 差 （ 变 异 系 数 ）例 ： 分 析 铁 矿 石 中 铁 的 质 量 分 数 ， 得 到 如 下 数 据 ： 37.45， 37.20，337.50， 37.
5、30， 37.25（ %） ， 计 算 测 结 果 的 平 均 值 、 平 均 偏 差 、 相 对平 均 偏 差 、 标 准 偏 差 、 变 异 系 数 。准 确 度 与 精 密 度 的 关 系 ：1） 精 密 度 是 保 证 准 确 度 的 先 决 条 件 ： 精 密 度 不 符 合 要 求 ， 表 示所 测 结 果 不 可 靠 ， 失 去 衡 量 准 确 度 的 前 提 。2） 精 密 度 高 不 能 保 证 准 确 度 高 。换 言 之 ， 准 确 的 实 验 一 定 是 精 密 的 ， 精 密 的 实 验 不 一 定 是 准 确 的 。重 复 性 试 验 按 拟 定 的 含 量 测 定
6、 方 法 ， 对 同 一 批 样 品 进 行 多 次 测 定 (平行 试 验 至 少 5 次 以 上 ， 即 n5)， 计 算 相 对 标 准 偏 差 (RSD)， 一 般要 求 低 于 5%4数 学 表 达 式 ： S-标 准 偏 差 （ %） n-试 样 总 数 或 测 量 次 数 ， 一 般 n值 不 应 少 于 20-30个 i-物 料 中 某 成 分 的 各 次 测 量 值 ， 1 n；标 准 偏 差 的 使 用 方 法六 个 计 算 标 准 偏 差 的 公 式 1标 准 偏 差 的 理 论 计 算 公 式设 对 真 值 为 X的 某 量 进 行 一 组 等 精 度 测 量 , 其
7、测 得 值 为 l1、 l2、 ln。 令 测 得 值 l与 该 量 真值 X之 差 为 真 差 占 , 则 有 1 = li X2 = l2 Xn = ln X我 们 定 义 标 准 偏 差 (也 称 标 准 差 )为5（ 1）由 于 真 值 X都 是 不 可 知 的 , 因 此 真 差 占 也 就 无 法 求 得 , 故 式 只 有 理 论 意 义 而 无 实 用 价 值 。标 准 偏 差 的 常 用 估 计 贝 塞 尔 公 式由 于 真 值 是 不 可 知 的 , 在 实 际 应 用 中 , 我 们 常 用 n次 测 量 的 算 术 平 均 值来 代 表 真 值 。 理 论 上 也 证
8、明 , 随 着 测 量 次 数 的 增 多 , 算术 平 均 值 最 接 近 真 值 , 当 时 , 算 术 平 均 值 就 是 真 值 。于 是 我 们 用 测 得 值 li与 算 术 平 均 值 之 差 剩 余 误 差 （ 也 叫 残 差 ） Vi来 代 替 真 差 , 即设 一 组 等 精 度 测 量 值 为 l1、 l2、 ln则通 过 数 学 推 导 可 得 真 差 与 剩 余 误 差 V的 关 系 为将 上 式 代 入 式 (1)有6(2)式 (2)就 是 著 名 的 贝 塞 尔 公 式 (Bessel)。它 用 于 有 限 次 测 量 次 数 时 标 准 偏 差 的 计 算 。
9、由 于 当 时 ，,可 见 贝 塞 尔 公 式 与 的 定 义 式 (1)是 完 全 一 致 的 。应 该 指 出 , 在 n有 限 时 , 用 贝 塞 尔 公 式 所 得 到 的 是 标 准 偏 差 的 一 个 估 计 值 。 它 不 是 总 体 标准 偏 差 。 因 此 , 我 们 称 式 (2)为 标 准 偏 差 的 常 用 估 计 。 为 了 强 调 这 一 点 , 我 们 将 的 估 计 值 用 “S”表 示 。 于 是 , 将 式 (2)改 写 为(2)在 求 S时 , 为 免 去 求 算 术 平 均 值 的 麻 烦 , 经 数 学 推 导 (过 程 从 略 )有于 是 , 式 (
10、2)可 写 为(2“)按 式 (2“)求 S时 , 只 需 求 出 各 测 得 值 的 平 方 和 和 各 测 得 值 之 和 的 平 方 艺 , 即可 。标 准 偏 差 的 无 偏 估 计7数 理 统 计 中 定 义 S2为 样 本 方 差数 学 上 已 经 证 明 S2是 总 体 方 差 2的 无 偏 估 计 。 即 在 大 量 重 复 试 验 中 , S2围 绕 2散 布 , 它 们 之间 没 有 系 统 误 差 。 而 式 (2)在 n有 限 时 ,S并 不 是 总 体 标 准 偏 差 的 无 偏 估 计 , 也 就 是 说 S和 之 间存 在 系 统 误 差 。 概 率 统 计 告
11、诉 我 们 , 对 于 服 从 正 态 分 布 的 正 态 总 体 , 总 体 标 准 偏 差 的 无 偏 估 计值 为(3)令则即 S1和 S仅 相 差 一 个 系 数 K,K是 与 样 本 个 数 测 量 次 数 有 关 的 一 个 系 数 , K值 见 表 。计 算 K时 用 到(n +1)= n(n)(1)=18由 表 1知 , 当 n30时 , 。 因 此 , 当 n30时 , 式 (3)和 式 (2)之 间 的差 异 可 略 而 不 计 。 在 n=30 50时 , 最 宜 用 贝 塞 尔 公 式 求 标 准 偏 差 。 当 n50时 的 情 况 , 当 n50时 ,n和 (n-1
12、)对 计 算 结 果 的 影 响 就 很 小 了 。2.5标 准 偏 差 的 极 差 估 计 由 于 以 上 几 个 标 准 偏 差 的 计 算 公 式 计 算 量 较 大 , 不 宜 现 场 采 用 ,而 极 差 估 计 的 方 法 则 有 运 算 简 便 , 计 算 量 小 宜 于 现 场 采 用 的 特 点 。极 差 用 “R“表 示 。 所 谓 极 差 就 是 从 正 态 总 体 中 随 机 抽 取 的 n个 样 本 测 得 值 中 的 最 大 值 与 最 小值 之 差 。若 对 某 量 作 次 等 精 度 测 量 测 得 l1、 ， 且 它 们 服 从 正 态 分 布 , 则R =
13、lmax lmin概 率 统 计 告 诉 我 们 用 极 差 来 估 计 总 体 标 准 偏 差 的 计 算 公 式 为(5)S3称 为 标 准 偏 差 的 无 偏 极 差 估 计 , d2为 与 样 本 个 数 n(测 得 值 个 数 )有 关 的 无 偏 极 差 系 数 , 其值 见 表 29由 表 2知 , 当 n15时 , , 因 此 , 标 准 偏 差 更 粗 略 的 估 计 值 为(5)还 可 以 看 出 , 当 200n1000时 ， 因 而 又 有(5“)显 然 , 不 需 查 表 利 用 式 (5)和 (5“)了 即 可 对 标 准 偏 差 值 作 出 快 速 估 计 , 用
14、 以 对 用 贝 塞 尔 公 式及 其 他 公 式 的 计 算 结 果 进 行 校 核 。应 指 出 ,式 (5)的 准 确 度 比 用 其 他 公 式 的 准 确 度 要 低 , 但 当 5n15时 ,式 (5)不 仅 大 大 提 高 了 计算 速 度 , 而 且 还 颇 为 准 确 。 当 n10时 , 由 于 舍 去 数 据 信 息 较 多 , 因 此 误 差 较 大 , 为 了 提 高 准 确 度 ,10这 时 应 将 测 得 值 分 成 四 个 或 五 个 一 组 , 先 求 出 各 组 的 极 差 R1、 , 再 由 各 组 极 差 求 出极 差 平 均 值 。极 差 平 均 值
15、和 总 体 标 准 偏 差 的 关 系 为需 指 出 , 此 时 d2大 小 要 用 每 组 的 数 据 个 数 n而 不 是 用 数 据 总 数 N(=nK)去 查 表 2。 再 则 , 分 组时 一 定 要 按 测 得 值 的 先 后 顺 序 排 列 ,不 能 打 乱 或 颠 倒 。标 准 偏 差 的 平 均 误 差 估 计平 均 误 差 的 定 义 为误 差 理 论 给 出 (A)可 以 证 明 与 的 关 系 为(证 明 从 略 )11于 是 (B)由 式 (A)和 式 (B)得从 而 有式 (6)就 是 佩 特 斯 (C.A.F.Peters.1856)公 式 。 用 该 公 式 估
16、 计 值 , 由 于 right|Vright|不 需 平 方 ,故 计 算 较 为 简 便 。 但 该 式 的 准 确 度 不 如 贝 塞 尔 公 式 。 该 式 使 用 条 件 与 贝 塞 尔 公 式 相 似 。标 准 偏 差 的 应 用 实 例 1对 标 称 值 Ra =0.160m 的 一 块 粗 糙 度 样 块 进 行 检 定 , 顺 次 测 得 以 下 15个数 据 :1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63m, 试 求 该样 块 Rn的 平 均 值 和 标 准 偏 差 并
17、 判 断 其 合 格 否 。解 ： 1)先 求 平 均 值122)再 求 标 准 偏 差 S若 用 无 偏 极 差 估 计 公 式 式 (5)计 算 , 首 先 将 测 得 的 , 15 个 数 据 按 原 顺 序 分 为 三 组 , 每 组 五 个 ,见 表 3。表 3组 号 l_1 l_5 R1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.192 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.313 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24因 每 组 为 5个 数 据 , 按 n=5由 表 2查 得故若 按 常 用 估 计 即 贝 塞 尔 公 式 式 (
18、2), 则若 按 无 偏 估 计 公 式 即 式 (3)计 算 , 因 n=15， 由 表 1查 得 K =1.018, 则若 按 最 大 似 然 估 计 公 式 即 式 (4)计 算 , 则13=0.09296(m )若 按 平 均 误 差 估 计 公 式 即 式 (6), 则现 在 用 式 (5)对 以 上 计 算 进 行 校 核可 见 以 上 算 得 的 S、 S1、 S2、 S3和 S4没 有 粗 大 误 差 。由 以 上 计 算 结 果 可 知 0.092960.09620.09790.10170.1062即 S2 S S1 S4 S3可 见 , 最 大 似 然 估 计 值 最 小
19、, 常 用 估 计 值 S稍 大 , 无 偏 估 计 值 S1又 大 , 平 均 误 差 估 计 值 S4再大 , 极 差 估 计 值 S3最 大 。 纵 观 这 几 个 值 , 它 们 相 当 接 近 , 最 大 差 值 仅 为 0.01324m。 从 理 论 上 讲 ,用 无 偏 估 计 值 和 常 用 估 计 比 较 合 适 , 在 本 例 中 , 它 们 仅 相 差 0.0017m。 可 以 相 信 , 随 着 的 增 大 ,S、 S1、 S2、 S3和 S4之 间 的 差 别 会 越 来 越 小 。就 本 例 而 言 , 无 偏 极 差 估 计 值 S3和 无 偏 估 计 值 S1仅
20、 相 差 0.0083m, 这 说 明 无 偏 极 差 估 计 是既 可 以 保 证 一 定 准 确 度 计 算 又 简 便 的 一 种 好 方 法 。JJG102-89 表 面 粗 糙 度 比 较 样 块 规 定 Ra的 平 均 值 对 其 标 称 值 的 偏 离 不 应 超 过 +12% 17%,标 准 偏 差 应 在 标 称 值 的 4% 12%之 间 。 已 得 本 样 块 二产 , 产 均 在 规 定 范 围 之 内 , 故 该 样 块 合 格 。标 准 偏 差 与 标 准 差 的 区 别14标 准 差 (StandardDeviation)各 数 据 偏 离 平 均 数 的 距 离
21、 （ 离 均 差 ） 的 平 均 数 ， 它 是 离 差 平 方和 平 均 后 的 方 根 。 用 表 示 。 因 此 ， 标 准 差 也 是 一 种 平 均 数 。 标 准 差 是 方 差 的 算 术 平 方 根 。 标准 差 能 反 映 一 个 数 据 集 的 离 散 程 度 。 平 均 数 相 同 的 ， 标 准 差 未 必 相 同 。例 如 ， A、 B两 组 各 有 6位 学 生 参 加 同 一 次 语 文 测 验 ， A组 的 分 数 为 95、 85、 75、 65、 55、45， B组 的 分 数 为 73、 72、 71、 69、 68、 67。 这 两 组 的 平 均 数
22、都 是 70， 但 A组 的 标 准 差 为 17.08分 ， B组 的 标 准 差 为 2.16分 ， 说 明 A组 学 生 之 间 的 差 距 要 比 B组 学 生 之 间 的 差 距 大 得 多 。标 准 偏 差 (StdDev,StandardDeviation) - 统 计 学 名 词 。 一 种 量 度 数 据 分 布 的 分 散 程 度 之 标准 ， 用 以 衡 量 数 据 值 偏 离 算 术 平 均 值 的 程 度 。 标 准 偏 差 越 小 ， 这 些 值 偏 离 平 均 值 就 越 少 ， 反 之 亦然 。 标 准 偏 差 的 大 小 可 通 过 标 准 偏 差 与 平 均
23、 值 的 倍 率 关 系 来 衡 量 。有 人 经 常 混 用 均 方 根 误 差 （ RMSE） 与 标 准 差 （ StandardDeviation） ， 实 际 上二 者 并 不 是 一 回 事 。1.均 方 根 误 差均 方 根 误 差 为 了 说 明 样 本 的 离 散 程 度 。均 方 根 误 差 （ root-mean-squareerror ） 亦 称 标 准 误 差 ， 其 定 义 为 ，i 1， 2， 3， n。 在 有 限 测 量 次 数 中 ， 均 方 根 误 差 常 用 下 式 表 示 ： ，式 中 ， n为 测 量 次 数 ； di为 一 组 测 量 值 与 平
24、均 值 的 偏 差 。 如 果 误 差 统 计 分 布 是 正态 分 布 ， 那 么 随 机 误 差 落 在 土 以 内 的 概 率 为 68 。2.标 准 差标 准 差 是 方 差 的 算 术 平 方 根 。标 准 差 能 反 映 一 个 数 据 集 的 离 散 程 度 。 平 均 数 相 同 的 ， 标 准 差 未 必 相 同 。标 准 差 也 被 称 为 标 准 偏 差 ， 或 者 实 验 标 准 差 。均 方 根 值 也 称 作 为 效 值 ， 它 的 计 算 方 法 是 先 平 方 、 再 平 均 、 然 后 开 方 。 比 如 幅 度 为 100V而占 空 比 为 0.5的 方 波
25、 信 号 ， 如 果 按 平 均 值 计 算 ， 它 的 电 压 只 有 50V， 而 按 均 方 根 值 计 算 则 有70.71V。 这 是 为 什 么 呢 ？ 举 一 个 例 子 ， 有 一 组 100伏 的 电 池 组 ， 每 次 供 电 10分 钟 之 后 停10分 钟 ， 也 就 是 说 占 空 比 为 一 半 。 如 果 这 组 电 池 带 动 的 是 10电 阻 ， 供 电 的 10 分 钟 产 生10A的 电 流 和 1000W的 功 率 ， 停 电 时 电 流 和 功 率 为 零 。那 么 在 20分 钟 的 一 个 周 期 内 其 平 均 功 率 为 500W， 这 相
26、当 于 70.71V的 直 流 电 向 10电 阻供 电 所 产 生 的 功 率 。 而 50V直 流 电 压 向 10电 阻 供 电 只 能 产 生 的 250W的 功 率 。 对 于 电 机与 变 压 器 而 言 ， 只 要 均 方 根 电 流 不 超 过 额 定 电 流 ， 即 使 在 一 定 时 间 内 过 载 ， 也 不 会 烧 坏 。PMTS1.0抽 油 机 电 能 图 测 试 仪 对 电 流 、 电 压 与 功 率 的 测 试 计 算 都 是 按 有 效 值 进 行 的 ， 不 会因 为 电 流 电 压 波 形 畸 变 而 测 不 准 。 这 一 点 对 于 测 试 变 频 器
27、拖 动 的 电 机 特 别 有 用 。均 方 根 误 差 为 了 说 明 样 本 的 离 散 程 度 。15对 于 N1,Nm,设 N=(N1+.+Nm)/m;则 均 方 根 误 差 记 作 ： .F6F!M n+t8Q5i.Y-mt=sqrt(N2-N12)+.+(N2-Nm2)/(m(m-1)；比 如 两 组 样 本 ：第 一 组 有 以 下 三 个 样 本 ： 3， 4， 5第 二 组 有 一 下 三 个 样 本 ： 2， 4， 6这 两 组 的 平 均 值 都 是 4， 但 是 第 一 组 的 三 个 数 值 相 对 更 靠 近 平 均 值 ， 也 就 是 离 散 程 度 小 ， 均方 差 就 是 表 示 这 个 的 。同 样 ， 方 差 、 标 准 差 (方 差 开 根 ,因 为 单 位 不 统 一 )都 是 表 示 数 据 的 离 散 程 度 的 。几 种 典 型 平 均 值 的 求 法（ 1） 算 术 平 均 值 这 种 平 均 值 最 常 用 。 设 x1、 x2、 、 xn为 各 次 的 测 量 值 ， n代 表 测量 次 数 ， 则 算 术 平 均 值 为（ 2） 均 方 根 平 均 值（ 3） 几 何 平 均 值（ 4） 对 数 平 均 值（ 5） 加 权 平 均 值16
