数学奥林匹克竞赛轮换与对称.pdf

1、中小学教育资源交流中心 htp:/提供因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念(1)对 称 式 ： 在 一 个 代 数 式 中 ， 如 果 把 它 所 含 的 两 个 字 母 互 换 ， 式 子 不 改 变 ， 那 么 这 个代数式就叫做关于这两个字母的对称式 。 如 ab+,2 2aabb+,32 233aababb+等都是关于,ab的对称式。 一般地 ， 在一个代数式中 ， 无论把其中哪两个字母互换 ， 式子都不变 ， 那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式 ， 如 abc+，222abcabbcca+，

2、 333abcabc+等都是关于 ,abc的对称式。(2)交 代 式 ： 在 一 个 代 数 式 中 ， 如 果 把 它 所 含 的 两 个 字 母 互 换 ， 得 到 的 式 子 和 原 来 的 代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把 ab，22ab中的两个字母 ,ab互换 ， 分别为 ()baab=， 22 22( )baab=则 ab， 22ab就叫做关于,ab的交代式。(3)轮换式 ： 在一个代数式中 ， 如果把所含字母顺次替换 (即第一个字母换成第二个字母 ，第二个字母换成第三个字母 ， 以此类推 ， 最后一个字母换成第一个字母 )， 式子不变 ， 那么

3、这个 代 数 式 就 叫 做 关 于 这 些 字 母 的 轮 换 对 称 式 ， 简 称 轮 换 式 ， 如 abc+， abbcca+，333abcabc+等都是关于 ,abc的轮换式。2、齐次对称式的一般形式(1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式： )(baL+；二元二次齐次对称式： MabbaL +)( 22 ；二元三次齐次对称式： )()(33 baMabbaL + 。(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式： )( cbaL+；三元二次齐次对称式： )()(222 cabcabMcbaL + ；三元三次齐次对称式： )()()( 22233 acbcbaMcbaL + Nabcbac

4、+)(2 。其中 L， M， N都是待定的常数，不含有 ,abc。3、基本性质(1)对称式一定轮换式 ， 但轮换式不一定是对称式 。 例如 accbba 222 + 是轮换式 ， 但把,ab互换，得到 bccaab 222 + ，显然它不是关于 ,ab的对称式。中小学教育资源交流中心 htp:/提供(2)两 对 称 式 的 和 、 差 、 积 、 商 一 定 是 对 称 式 ； 两 轮 换 式 的 和 、 差 、 积 、 商 一 定 是 轮 换式。 (3)两 交 代 式 的 积 是 对 称 式 ； 一 对 称 式 和 一 交 代 式 的 积 是 交 代 式 。 如22)( bababa =+

5、(对 称式 交 代式 =交 代式 )； )()()( 222 babababa += 。 (交 代式 交代式 =对称式 )。(4)有 若 干 个 字 母 的 交 代 式 ， 一 定 能 被 其 中 任 意 两 个 字 母 的 差 整 除 ， 如 交 代 式 22ba能被 ()ab整除。对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母 (例如 x)作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。 例如 ， 对一个关于 zyx, 的轮换式 ， 如已定出 yx是它的一个因式 ， 则 xzy, 都是它的因式。 4、对称式、交代式和轮换式的因式分解例

6、1、分解因式 )()()( 222 bacacbcba + 。解：由于原式是关于 ,abc的三次齐次交代式，根据性质 (4)，它一定能被 ab， bc，ca整除，即能被 )()( acba 整除。但 )()( acba 是三次齐次交代式 (性质 (3)， )()()( 222 bacacbcba + )()( accbaL = 。令 1,2,1 =cba ，则 3+( 3)+( 1)=L( 1) 3 ( 2)。 L=1。因此 )()()( 222 bacacbcba + )()( accba = 。例 2、分解因式 )()()( 233 yxzxzyzyx + 。解 ： 由于原式是关于 ,xy

7、z的四次齐次交代式 ， 根据性质 (4)， 它一定能被 xzyx ,整除，即能被 )()( xzzyyx 整除。但 )()( xzzyyx 是三次齐次交代式 (性质 (3)， 原式 = )()()( xzzyyxzyxL + 。其中 )( zyxL+是一次齐次对称式 (性质 (3)。令 0,1,2 =zyx ，则 L=+ 1)2(10)2(8 L= 1因此 )()()()()()( 233 xzzyyxzyxyxzxzyzyx +=+ 。例 3、分解因式555 )()()( accbba + 。解 ： 原 式 是 关 于 ,abc的 五 次 齐 次 交 代 式 ， 仿 上 两 例 知 它 能

8、被 )()( acba 整 除 ，中小学教育资源交流中心 htp:/提供因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式 )()( 222 cabcabMcbaL + 。 555 )()()( accbba + )()( 222 cabcabMcbaL + )()( acba 令 1,1,0 =cba ，则 2L M=15，令 2,1,0=cba ，则 5L+2M=15。解 =+1525 152ML 得 L=5， M= 5。 555 )()()( accbba + )()()( 222 acbacbcabcba += 。例 4、分解因式 abccba 3333 + 。解 ： 由 于 原 式 是 关 于

9、,abc的 三 次 齐 次 对 称 式 ， 如 果 它 能 分 解 ， 则 必 有 一 个 一 次 齐 次 对称式 abc+做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式 )()(222 cabcabMcbaL + 原式 = )( cba+ )()( 222 cabcabMcbaL + 。令 1,0=cba ，则 L=1；令 1,0=cba ，则 2L+M=1， M= 1。 abccba 3333 + = )( cba+ )( 222 cabcabcba + 。例 5、分解因式5555)( zyxzyx + 。解 ： 原 式 是 关 于 ,xyz的 五 次 齐 次 对 称 式 ， 所 以 它 如 果

10、 能 分 解 ， 必 有 一 个 一 次 对 称 式 因式。我们判断 xy+是否是它的因式：假设 5555)( zyxzyx + =()xy+Q(Q是整式 )，令 xy=，由 05555 =+ zyyz 知原式有因式 xy+同理知 yz+， zx+都是原式的因式。但 )()( xzzyyx + 是 三 次 齐 次 对 称 式 ， 所 以 原 式 应 有 一 个 二 次 齐 次 对 称 式 的 因 式 ： )()( 222 zxyzxyMzyxL + (性质 (3)。5555 222( ) ()()()( )( )xyzxyzxyyzzxLxyzMxyyzzx+=+令 1,0=zyx ，则 2L

11、+M=15；令 1=zyx ，则 L+M=10。中小学教育资源交流中心 htp:/提供解 =+10152ML 得 L=M=5。5555 222( ) ()()()( )xyzxyzxyyzzxyzxyyzzx+=+。例 6、分解因式： abccbacbcab + )(解 ： 原式是一个关于 cba,的对称式 ， 取 a为主元 ， 原式可看成是一个关于 a的二次多项式 )(af当 ba=时 ， 原 式 0)( 22 =+= cbcbbf 。 由 因 式 定 理 ， 原 式 含 有 因 式 ()ab+由 对称性 ， 原式还含有因式 )( acb+。 由于 )()( acba + 已是关于 cba,

12、的三次式 ， 而原式 也 只 是 关 于 cba, 的 三 次 式 ， 故 原 式 不 会 再 由 其 他 因 式 了 。 但 原 式 与 )()( acba + 还可能相差一个常数因数，故设 =+ abccbacbcab )( )()( acbak + 这是一个关于 cba,的恒等式，可通过在等式的两边使 cba,取一些特殊值来求出 k。例如，取 1=cba ，代入 式，得 k88=，从而 1=k。所以原式 = )()( acba +说明 ： 上述解法中的待定系数 ,k也可通过观察确定 ， 由观察易知 ， 式左边 2a的系数是cb+，而右边关于 2a的系数是 ()kbc+，故 1=k。如果一

13、个多项式的所有项关于各字母的次数相同 ， 则称为齐次多项式 ； 否则 ， 称为非齐次多项式。由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是 222( )( )axyzbxyyzzx+； 三元一次非齐次对称式的一般形式是 dzyxc +)( 这里dcba, 都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。把对称式或轮换对称式作因式分解时 ， 应注意原式是齐次的还是非齐次的 ， 并由此确定因式的形式。例 7、分解因式： 555 )()()( xzzyyx +解 ： 原式是五次齐次轮换式 ， 仿照例 8的办法知 ， yx， xzy, 都是它的一次因式 。由 原

14、 式 的 齐 次 性 ， 它 还 有 一 个 二 次 齐 次 因 式 。 由 轮 换 性 ， 这 个 因 式 的 形 式 必 是222( )( )axyzbxyyzzx+； (若为 222 zyx+， 由轮换式就会有另两个因式 222 xzy+及222 yxz +，这样原式就至少为 9次 )，这里 ba,为待定系数。于是，便有原式 = )()()()(222 zxyzxybzyxaxzzyyx +取 1, 1,0xyz=，代入上式得 215ab=；取 0,1,2 =zyx ，得 5215ab+=关于 ba,的两式联立，解得 5,5=ba 。所以中小学教育资源交流中心 htp:/提供原式 = )

15、()()(5 222 zxyzxyzyxzzyyx +例 8、分解因式： )()()()()( 333 acbabacacbcba +解 ：原式是四次非齐次轮换式，易知 acba , 是 它的 (一 次齐次 )因 式。由于原式是 非 齐 次 的 ， 它 的 另 一 个 因 式 必 是 一 次 非 齐 次 式 ， 设 为 lklcbak ,)( + 待 定 。 于 是 原 式= )()()( lcbakacba +取 1,2,0abc=， 得 462kl=+； 取 1,1=ba ， ,0=c得 l22=解得 1,1=kl 所以原式 = )1)()()( + cbacba上面三个例子都是用求根法分

16、解因式 ， 但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因式。 例 9、分解因式：444 )( yyxx +分析 ： 原式是二元四次齐次对称式 ， 很难看出 x取什么值 (关于 y的表达式 )能使它为零 。这里不加证明的告诉读者如下的结论：任何一个二元对称式都可以用 yx+及 xy表示出来 。 例如 3223444 46)( xyyxyxyxyx +=+ = 224 )(2)()( xyyxxyyx +对于给定的对称式 ， 寻求上面这种样子的具体表示方法 ， 对解决某些代数求值问题及利用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的。 解：由分析中所得表示可见原式 = )()(2)(2 224 xyyxx

17、yyx + = 22222 )(2)(2 yxyxxyyx +=+在一个含有若干个元的多项式中 ， 如果互换任意两个元的位置 ， 多项式不变 ， 这种多项式 叫 做 对 称 多 项 式 (简 称 对 称 式 )。 例 如 ， 444 )( yyxx + 是 二 元 对 称 多 项 式 ，xyzzyx 3333 + 是三元对称多项式。一个关于 wzyx,的多元多项式 ， 若依某种顺序把字母进行轮换 (如把 x换成 y， y换成 wz,换 成 x)， 多 项 式 不 变 ， 这 种 多 项 式 叫 做 轮 换 对 称 多 项 式 (简 称 轮 换 式 )。 例 如 ，)()(,222 bacacb

18、cbaxzzyyx + 都是三元轮换对称式。显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式 。 例如 ， 2 22xyyzzx+是 轮 换 式 ， 但 因 互 换 yx,， 得 到 的 是 yzzxxy 222 + ， 这 已 不 是 原 式 ， 所以原式不是对称式。 对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母 (例如 x)作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。 例如 ， 对一个关于 zyx, 的轮换式 ， 如已定出 yx是它的一个因式 ， 则 xzy, 都是它的因中小学教育资源交流中心 htp:/提

19、供式。 例 8、分解因式： abccbacbcab + )(解 ： 原式是一个关于 cba,的对称式 ， 取 a为主元 ， 原式可看成是一个关于 a的二次多项式 )(af当 ba=时 ， 原 式 0)( 22 =+= cbcbbf 。 由 因 式 定 理 ， 原 式 含 有 因 式 ),(ba+由 对称性 ， 原式还含有因式 )( acb+。 由于 )()( acba + 已是关于 cba,的三次式 ， 而原式 也 只 是 关 于 cba, 的 三 次 式 ， 故 原 式 不 会 再 由 其 他 因 式 了 。 但 原 式 与 )()( acba + 还可能相差一个常数因数，故设 =+ abc

20、cbacbcab )( )()( acbak + 这是一个关于 cba,的恒等式，可通过在等式的两边使 cba,取一些特殊值来求出 k。例如，取 1=cba ，代入 式，得 k88=，从而 1=k。所以原式 = )()( acba +说明 ： 上述解法中的待定系数 ,k也可通过观察确定 ， 由观察易知 ， 式左边 2a的系数是cb+，而右边关于 2a的系数是 ),(cbk+故 1=k。如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同 ， 则称为齐次多项式 ； 否则 ， 称为非齐次多项式。由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是 222( )( )axyzbxyyzz

21、x+；三元一次非齐次对称式的一般形式是 dzyxc +)( 。 这里 dcba, 都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。把对称式或轮换对称式作因式分解时 ， 应注意原式是齐次的还是非齐次的 ， 并由此确定因式的形式。例 9、分解因式： 555 )()()( xzzyyx +解 ： 原式是五次齐次轮换式 ， 仿照例 8的办法知 ， yx， xzy, 都是它的一次因式 。由 原 式 的 齐 次 性 ， 它 还 有 一 个 二 次 齐 次 因 式 。 由 轮 换 性 ， 这 个 因 式 的 形 式 必 是222( )( )axyzbxyyzzx+； (若为 222 zyx+，

22、由轮换式 ， 就会有另两个因式 222 xzy+及 222 yxz +， 这 样 原 式 就 至 少 为 9次 )， 这 里 ba,为 待 定 系 数 。 于 是 ， 便 有 原 式= )()()()(222 zxyzxybzyxaxzzyyx +取 1, 1,0xyz=，代入上式得 215ab=；取 0,1,2 =zyx ，得 5215ab+=关于 ba,的两式联立，解得 5,5=ba 。所以原式 = )()()(5 222 zxyzxyzyxzzyyx +例 10分解因式： )()()()()( 333 acbabacacbcba +中小学教育资源交流中心 htp:/提供解 ：原式是四次非

23、齐次轮换式，易知 acba , 是 它的 (一 次齐次 )因 式。由于原式是 非 齐 次 的 ， 它 的 另 一 个 因 式 必 是 一 次 非 齐 次 式 ， 设 为 ( )kabcl+， ,kl待 定 。 于 是 原 式= )()()( lcbakacba +取 0,2,1=cba ， 得 lk264+= ； 取 1,1=ba ， 0c=， 得 l22=解得 1,1=kl 所以原式 = )1)()()( + cbacba上面三个例子都是用求根法分解因式 ， 但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因式。例 11、分解因式： 444 )( yyxx +分析 ： 原式是二元四次齐次对称式 ，

24、很难看出 x取什么值 (关于 y的表达式 )能使它为零 。这里不加证明的告诉读者如下的结论：任何一个二元对称式都可以用 yx+及 xy表示出来 。 例如3223444 46)( xyyxyxyxyx +=+ = 224 )(2)()( xyyxxyyx +对于给定的对称式 ， 寻求上面这种样子的具体表示方法 ， 对解决某些代数求值问题及利用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的。 解：由分析中所得表示可见 原式 = )()(2)(2224 xyyxxyyx + = 22222 )(2)(2 yxyxxyyx +=+因式分解： (轮换对称法 )333abcabc+ ( )( )( )22 22

25、22xyxyyzyzzxzx+ ( )( )( )( )5 5 5 5xyzyzxzxyxyz+ ()()()3 3 3abcbcacab+1、求证： 4222 + yxyxyx 不能分解为两个一次因式的乘积。2、已知 4136234 + kxxxx 是一个完全平方式。3、若 myxyxyx + 221145622 可以分解为两个一次式的积，求 m的值并将多项式分解因式。 4、多项式 bxaxxx + 732 234 能被 22+xx 整除，则 =ba_5、若多项式 2533222 + yxyxykx 能分解成两个一次因式的积，求 k的值。6、若多项式 1634 +nxmxx 含有因式 ()()21xx和 ，则 mn=_中小学教育资源交流中心 htp:/提供7、设 n是奇数，试证： 12n能被 8整除。8、习题：2 2431025xxyyy+ 2 234 532xxyyyy+ ( )3333xyzxyz+ 2 267 852xxyyxy+51x 432xxx+9、若 48464517 23456 + xxxxxx()()()( )()( )fxexdxcxbxax += ，则 =+ fedcba _,=abcdef_10、二次多项式 22 3kkxx + 能被 1x整除，那么 k的值是 _。欢 迎访问 htp:/